Determine e equação diferencial ordinária de um objeto em queda livre a partir do repouso, de massa “m”. Durante a queda duas forças estão agindo sobre o sólido, o seu peso (m.g) e a força de arraste
, onde:
coeficiente de arraste;
a massa especifica do fluido;
velocidade;
área da superfície em queda.
Além da equação, determine o que são as variáveis e os parâmetros envolvidos neste exercício.
Além da equação, determine o que são as variáveis e os parâmetros envolvidos neste exercício.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a queda livre de um corpo de massa
, largado do repouso, quando atuam duas forças: o peso e a força de arraste dada por . - Explicar o que são as variáveis e os parâmetros do problema.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
- massa do corpo:
; - força peso:
(com a aceleração da gravidade); - força de arraste indicada:
; - símbolos listados no enunciado:
(coeficiente de arraste), (massa específica do fluido), (velocidade), (área).
Observação importante sobre uma ambiguidade no enunciado: dentro do parênteses da expressão do arraste aparece a letra
, porém o enunciado também definiu
como “massa específica do fluido” (que é o fator que normalmente aparece na fórmula de arraste). Por isso vou interpretar que ali deveria estar
(densidade do fluido) e não
. Se for mesmo outro
, diga-me, mas a física padrão usa
.
Também vamos precisar escolher um sentido positivo para a velocidade antes de escrever as forças (faremos isso no passo seguinte).
Passo 2
Escolha de sinal e aplicação da 2ª lei de Newton — ideia e notação:
- Defino a direção positiva para baixo (ou seja, velocidades positivas significam movimento para baixo). Isso costuma simplificar a conta quando o corpo está caindo.
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; escrevemos
. - A 2ª lei de Newton (versão unidimensional) diz que a soma das forças (com sinais) é igual à massa vezes a aceleração:
Expliquei isso porque é o fundamento para montar a EDO: somar as forças com os sinais corretos e igualar a
.
Passo 3
Escrever as forças com seus sentidos (magnitudes e sinais):
- Peso: aponta para baixo (mesmo sentido escolhido como positivo). Então o peso entra como
. - Arraste: magnitude (assumindo o uso de
) é
A força de arraste sempre se opõe ao movimento. Com nossa convenção (para baixo positivo), se
(queda para baixo) o arraste aponta para cima e deve entrar com sinal negativo. Para que a fórmula seja válida mesmo se o corpo mudar de sentido, a forma geral orientada é
Explicação da notação
: ela tem magnitude
e sinal oposto ao sinal de
; dessa forma a expressão sempre representa uma força contrária ao sentido do movimento.
Passo 4
Montagem da EDO (caso prático: queda a partir do repouso, inicialmente
):
- Somando forças (peso positivo, arraste negativo) e aplicando a 2ª lei:
válido enquanto
. A forma geral (válida para qualquer sinal de
) é
- Dividindo por
fica uma EDO de primeira ordem para :
Para o caso físico da pergunta (queda a partir do repouso, inicialmente para baixo) pode-se também escrever, sem o módulo:
Passo 5
Comentário físico útil (não pedido explicitamente, mas ajuda a entender a equação na prova):
- Velocidade terminal: quando a aceleração chega a zero (
) a resistência equilibra o peso. Da EDO obtém-se
que leva a
Isso mostra o comportamento esperado: a velocidade cresce inicialmente e tende a um valor limite quando o arraste iguala o peso.
Passo 6
Definição explícita das variáveis e parâmetros (unidades típicas incluídas):
-
: tempo (s). -
: velocidade do corpo no instante (m/s). Com a convenção adotada, significa movimento para baixo. -
: massa do corpo (kg) — parâmetro constante. -
: aceleração da gravidade (m/s ), normalmente — parâmetro constante. -
: coeficiente de arraste (adimensional), depende da forma do corpo e do regime de escoamento. -
: densidade do fluido (kg/m ) — o enunciado chamou de “massa específica do fluido”. -
: área de referência (m ) — superfície vista pelo fluxo. - Observação sobre a expressão do arraste: a magnitude é
; a expressão com garante o sinal correto quando o movimento inverte.
Resposta
Variáveis e parâmetros:
= tempo;
= velocidade;
= massa;
= aceleração da gravidade;
= coeficiente de arraste;
= densidade do fluido;
= área de referência.