Determine e equação diferencial ordinária de um objeto em queda livre a partir do repouso, de massa “m”. Durante a queda duas forças estão agindo sobre o sólido, o seu peso (m.g) e a força de arraste \left[\mathrm{C}_{\mathrm{D}}\left(0,5 . \mathrm{g} . \mathrm{V}^{2} . \mathrm{A}\right)\right], onde:
\mathrm{C}_{\mathrm{D}}= coeficiente de arraste;
\rho= a massa especifica do fluido;
\mathrm{V}= velocidade;
\mathrm{A}= área da superfície em queda.
Além da equação, determine o que são as variáveis e os parâmetros envolvidos neste exercício.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a queda livre de um corpo de massa m, largado do repouso, quando atuam duas forças: o peso e a força de arraste dada por C_D\bigl(0{,}5\cdot g \cdot V^{2}\cdot A\bigr).
  2. Explicar o que são as variáveis e os parâmetros do problema.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
  • massa do corpo: m;
  • força peso: m g (com g a aceleração da gravidade);
  • força de arraste indicada: C_D\bigl(0{,}5\cdot g \cdot V^{2}\cdot A\bigr);
  • símbolos listados no enunciado: C_D (coeficiente de arraste), \rho (massa específica do fluido), V (velocidade), A (área).
Observação importante sobre uma ambiguidade no enunciado: dentro do parênteses da expressão do arraste aparece a letra g, porém o enunciado também definiu \rho como “massa específica do fluido” (que é o fator que normalmente aparece na fórmula de arraste). Por isso vou interpretar que ali deveria estar \rho (densidade do fluido) e não g. Se for mesmo outro g, diga-me, mas a física padrão usa \tfrac{1}{2}\rho V^2 A C_D.
Também vamos precisar escolher um sentido positivo para a velocidade antes de escrever as forças (faremos isso no passo seguinte).

Passo 2

Escolha de sinal e aplicação da 2ª lei de Newton — ideia e notação:
  • Defino a direção positiva para baixo (ou seja, velocidades positivas significam movimento para baixo). Isso costuma simplificar a conta quando o corpo está caindo.
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; escrevemos a=\dfrac{dV}{dt}.
  • A 2ª lei de Newton (versão unidimensional) diz que a soma das forças (com sinais) é igual à massa vezes a aceleração:
\sum F = m\,\frac{dV}{dt}.
Expliquei isso porque é o fundamento para montar a EDO: somar as forças com os sinais corretos e igualar a m\,dV/dt.

Passo 3

Escrever as forças com seus sentidos (magnitudes e sinais):
  • Peso: aponta para baixo (mesmo sentido escolhido como positivo). Então o peso entra como +m g.
  • Arraste: magnitude (assumindo o uso de \rho) é
F_{\text{arr}}^{\text{(mag)}} = C_D\cdot\frac{1}{2}\,\rho\,A\,V^{2}.
A força de arraste sempre se opõe ao movimento. Com nossa convenção (para baixo positivo), se V>0 (queda para baixo) o arraste aponta para cima e deve entrar com sinal negativo. Para que a fórmula seja válida mesmo se o corpo mudar de sentido, a forma geral orientada é
F_{\text{arr}} = -C_D\cdot\frac{1}{2}\,\rho\,A\,V\,|V|.
Explicação da notação V|V|: ela tem magnitude V^{2} e sinal oposto ao sinal de V; dessa forma a expressão sempre representa uma força contrária ao sentido do movimento.

Passo 4

Montagem da EDO (caso prático: queda a partir do repouso, inicialmente V\ge0):
  • Somando forças (peso positivo, arraste negativo) e aplicando a 2ª lei:
m\,\frac{dV}{dt}=m g - C_D\cdot\frac{1}{2}\,\rho\,A\,V^{2},
válido enquanto V\ge0. A forma geral (válida para qualquer sinal de V) é
m\,\frac{dV}{dt}=m g - C_D\cdot\frac{1}{2}\,\rho\,A\,V\,|V|.
  • Dividindo por m fica uma EDO de primeira ordem para V(t):
\frac{dV}{dt}=g - \frac{1}{2m}\rho C_D A\,V\,|V|.
Para o caso físico da pergunta (queda a partir do repouso, inicialmente para baixo) pode-se também escrever, sem o módulo:
\frac{dV}{dt}=g - \frac{1}{2m}\rho C_D A\,V^{2},\qquad V(0)=0.

Passo 5

Comentário físico útil (não pedido explicitamente, mas ajuda a entender a equação na prova):
  • Velocidade terminal: quando a aceleração chega a zero ( dV/dt=0) a resistência equilibra o peso. Da EDO obtém-se
0 = m g - \frac{1}{2}\rho C_D A V_{\infty}^{2}
que leva a
V_{\infty}=\sqrt{\frac{2 m g}{\rho C_D A}}.
Isso mostra o comportamento esperado: a velocidade cresce inicialmente e tende a um valor limite quando o arraste iguala o peso.

Passo 6

Definição explícita das variáveis e parâmetros (unidades típicas incluídas):
  • t: tempo (s).
  • V(t): velocidade do corpo no instante t (m/s). Com a convenção adotada, V>0 significa movimento para baixo.
  • m: massa do corpo (kg) — parâmetro constante.
  • g: aceleração da gravidade (m/s ^2), normalmente g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2 — parâmetro constante.
  • C_D: coeficiente de arraste (adimensional), depende da forma do corpo e do regime de escoamento.
  • \rho: densidade do fluido (kg/m ^3) — o enunciado chamou de “massa específica do fluido”.
  • A: área de referência (m ^2) — superfície vista pelo fluxo.
  • Observação sobre a expressão do arraste: a magnitude é C_D\cdot\tfrac{1}{2}\rho A V^{2}; a expressão com V|V| garante o sinal correto quando o movimento inverte.

Resposta

m\,\frac{dV}{dt}=m g - C_D\cdot\frac{1}{2}\,\rho\,A\,V\,|V|\quad\text{(forma geral)}
\text{Para queda a partir do repouso (com \(V\ge0\)):}\quad m\,\frac{dV}{dt}=m g - \frac{1}{2}\rho C_D A\,V^{2},\quad V(0)=0
Variáveis e parâmetros: t = tempo; V(t) = velocidade; m = massa; g = aceleração da gravidade; C_D = coeficiente de arraste; \rho = densidade do fluido; A = área de referência.

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