Determine a equação de variação de água dentro do tanque, considerando que a vazão de saída varie com a altura da água dentro do tanque. Considere que a densidade da água um valor constante (
). Descreva a equação para as seguintes situações:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Foi dito que a vazão de saída varia com a altura da água dentro do tanque e que a densidade da água tem valor constante
. - Foi dada a relação funcional da vazão:
. - O pedido: determinar a equação de variação da água dentro do tanque — isto é, escrever a equação diferencial que descreve como a altura
varia no tempo e, se possível, apresentar a solução dessa equação para um nível inicial . - Observação necessária (informação que vou presumir sem te perguntar): o tanque tem secção transversal constante de área
(unidades de área), e representa vazão volumétrica de saída (unidade ). Vou explicitar isso na resolução; se fosse vazão mássica a formulação muda, e eu mostro essa alternativa brevemente.
Passo 2
Definindo variáveis e unidades (de forma bem clara):
-
: altura da coluna de água no tanque em função do tempo (unidade: metros). -
: área da secção transversal do tanque (unidade: ). Assumo constante. -
: volume de água no tanque em função do tempo. Para seção constante, . -
: densidade da água (unidade: ), constante segundo o enunciado. -
: vazão de saída dada por . Aqui estou tratando como vazão volumétrica (unidade ). A constante tem unidades tais que resulte em ; por isso tem unidades .
Explicando: vazão volumétrica é o volume por unidade de tempo que sai do tanque; vazão mássica seria massa por tempo. O enunciado não disse qual é qual, mas a relaçãoé típica de um comportamento linear hidrodinâmico entre altura e vazão volumétrica (modelo com “resistência hidráulica”), por isso adoto essa interpretação.
Passo 3
Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): conservação de massa (ou volume)
- Forma intuitiva: a taxa de variação do volume dentro do tanque é igual à vazão que entra menos a vazão que sai.
- Aqui não foi dada vazão de entrada, então assumimos tanque apenas drenando (entrada nula). Logo:
- Como
(secção constante), derivando:
- Substituindo na conservação:
Essa é a equação de balanço volumétrico. Repare que nesse passo não usei
ainda; ao trabalhar com vazão volumétrica a densidade não aparece (ela seria relevante se tivéssemos formulado o balanço em termos de massa).
Passo 4
Inserindo a expressão dada para
e simplificando:
- Dado
, substituo em , obtendo:
- Isolando
:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem que descreve a variação da altura
.
Passo 5
Resolver a equação diferencial passo a passo (método: separação de variáveis)
- A equação é separável porque pode escrever-se como
- Integro ambos os lados: integrar no tempo desde
até e na altura desde até . Mas primeiro faço a integral indefinida para ver a forma geral:
- As integrais são simples:
onde
é constante de integração.
- Impor condição inicial
. Substituindo ,
Logo
- Exponenciando ambos os lados:
Passo 6
Escrever também a evolução da massa (já que o enunciado mencionou
)
- Massa de água no tanque:
. - Substituindo
:
- Observação: a densidade
aparece multiplicando a massa, mas no balanço volumétrico ela cancela, por isso a equação para não depende de .
Passo 7
Interpretação física e constante de tempo (coisa útil na prova)
- A solução é decaimento exponencial com constante de tempo
- Significado: em
a altura caiu para . - Unidades:
em , em , logo em segundos — consistente.
Passo 8
Comentário sobre a alternativa se
fosse vazão mássica
- Se, por outro lado,
fosse vazão mássica (unidade ) e a relação do enunciado fosse com ajustado, o balanço de massa seria:
- Desenvolvendo:
com solução
- Então, quando
for vazão mássica, a densidade não cancela e entra no tempo característico. Por isso é importante saber a interpretação de ; escolhi a interpretação volumétrica como a mais natural, mas aqui está a forma alternativa para comparar.