Determine a equação de variação de água dentro do tanque, considerando que a vazão de saída varie com a altura da água dentro do tanque. Considere que a densidade da água um valor constante ( \rho ). Descreva a equação para as seguintes situações:
F=h / R

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Foi dito que a vazão de saída varia com a altura da água dentro do tanque e que a densidade da água tem valor constante \rho.
  • Foi dada a relação funcional da vazão: F = \dfrac{h}{R}.
  • O pedido: determinar a equação de variação da água dentro do tanque — isto é, escrever a equação diferencial que descreve como a altura h varia no tempo e, se possível, apresentar a solução dessa equação para um nível inicial h(0)=h_0.
  • Observação necessária (informação que vou presumir sem te perguntar): o tanque tem secção transversal constante de área A (unidades de área), e F representa vazão volumétrica de saída (unidade \text{m}^3/\text{s}). Vou explicitar isso na resolução; se F fosse vazão mássica a formulação muda, e eu mostro essa alternativa brevemente.

Passo 2

Definindo variáveis e unidades (de forma bem clara):
  • h(t): altura da coluna de água no tanque em função do tempo (unidade: metros).
  • A: área da secção transversal do tanque (unidade: \text{m}^2). Assumo A constante.
  • V(t): volume de água no tanque em função do tempo. Para seção constante, \;V(t)=A\,h(t).
  • \rho: densidade da água (unidade: \text{kg}/\text{m}^3), constante segundo o enunciado.
  • F: vazão de saída dada por \;F=\dfrac{h}{R}. Aqui estou tratando F como vazão volumétrica (unidade \text{m}^3/\text{s}). A constante R tem unidades tais que h/R resulte em \text{m}^3/\text{s}; por isso R tem unidades \text{s}/\text{m}^2.
    Explicando: vazão volumétrica é o volume por unidade de tempo que sai do tanque; vazão mássica seria massa por tempo. O enunciado não disse qual é qual, mas a relação F=h/R é típica de um comportamento linear hidrodinâmico entre altura e vazão volumétrica (modelo com “resistência hidráulica”), por isso adoto essa interpretação.

Passo 3

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): conservação de massa (ou volume)
  • Forma intuitiva: a taxa de variação do volume dentro do tanque é igual à vazão que entra menos a vazão que sai.
  • Aqui não foi dada vazão de entrada, então assumimos tanque apenas drenando (entrada nula). Logo:
\frac{dV}{dt} = -F.
  • Como V(t)=A\,h(t) (secção constante), derivando:
\frac{dV}{dt} = A\,\frac{dh}{dt}.
  • Substituindo na conservação:
A\,\frac{dh}{dt} = -F.
Essa é a equação de balanço volumétrico. Repare que nesse passo não usei \rho ainda; ao trabalhar com vazão volumétrica a densidade não aparece (ela seria relevante se tivéssemos formulado o balanço em termos de massa).

Passo 4

Inserindo a expressão dada para F e simplificando:
  • Dado \;F=\dfrac{h}{R}, substituo em A\,\dfrac{dh}{dt} = -F, obtendo:
A\,\frac{dh}{dt} = -\frac{h}{R}.
  • Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{A}\cdot\frac{h}{R} = -\frac{h}{A R}.
Essa é a equação diferencial de primeira ordem que descreve a variação da altura h(t).

Passo 5

Resolver a equação diferencial passo a passo (método: separação de variáveis)
  • A equação é separável porque pode escrever-se como
\frac{1}{h}\,dh = -\frac{1}{A R}\,dt.
  • Integro ambos os lados: integrar no tempo desde t=0 até t e na altura desde h_0 até h(t). Mas primeiro faço a integral indefinida para ver a forma geral:
\int \frac{1}{h}\,dh = \int -\frac{1}{A R}\,dt.
  • As integrais são simples:
\ln|h| = -\frac{t}{A R} + C,
onde C é constante de integração.
  • Impor condição inicial h(0)=h_0>0. Substituindo t=0,
\ln h_0 = C.
Logo
\ln h = -\frac{t}{A R} + \ln h_0.
  • Exponenciando ambos os lados:
h(t) = h_0 \exp\!\left(-\frac{t}{A R}\right).

Passo 6

Escrever também a evolução da massa (já que o enunciado mencionou \rho)
  • Massa de água no tanque: M(t)=\rho V(t)=\rho A h(t).
  • Substituindo h(t):
M(t)=\rho A h_0 \exp\!\left(-\frac{t}{A R}\right).
  • Observação: a densidade \rho aparece multiplicando a massa, mas no balanço volumétrico ela cancela, por isso a equação para h(t) não depende de \rho.

Passo 7

Interpretação física e constante de tempo (coisa útil na prova)
  • A solução é decaimento exponencial com constante de tempo
\tau = A R.
  • Significado: em t=\tau a altura caiu para h_0 e^{-1}\approx 0{,}367\,h_0.
  • Unidades: A em \text{m}^2, R em \text{s}/\text{m}^2, logo \tau = A R em segundos — consistente.

Passo 8

Comentário sobre a alternativa se F fosse vazão mássica
  • Se, por outro lado, F fosse vazão mássica (unidade \text{kg}/\text{s}) e a relação do enunciado fosse F=\dfrac{h}{R} com R ajustado, o balanço de massa seria:
\frac{d}{dt}(\rho A h) = -F = -\frac{h}{R}.
  • Desenvolvendo:
\rho A \frac{dh}{dt} = -\frac{h}{R} \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = -\frac{h}{\rho A R},
com solução
h(t)=h_0\exp\!\left(-\frac{t}{\rho A R}\right).
  • Então, quando F for vazão mássica, a densidade não cancela e entra no tempo característico. Por isso é importante saber a interpretação de F; escolhi a interpretação volumétrica como a mais natural, mas aqui está a forma alternativa para comparar.

Resposta

\text{Equação diferencial:}\qquad \frac{dh}{dt} = -\frac{h}{A R}çã
\text{Solução (com }h(0)=h_0\text{):}\qquad h(t)=h_0\exp\!\left(-\frac{t}{A R}\right)çã
\text{Massa:}\qquad M(t)=\rho A h_0\exp\!\left(-\frac{t}{A R}\right)

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