O que acontece com a temperatura da sopa quente em um prato colocado sobre a mesa de uma sala? Sabendo que a sopa resfriará, demostre a equação obtida da temperatura da sopa.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a equação que descreve a temperatura da sopa ao longo do tempo quando ela esfria sobre a mesa de uma sala.
Informações / hipóteses que vamos usar (todas precisam estar claras para montar o modelo):
  • A temperatura ambiente da sala é constante e igual a T_a.
  • A sopa tem massa m e calor específico c.
  • A sopa troca calor com o ar principalmente por convecção através de uma superfície de área A.
  • O coeficiente de transferência convectiva é h (valor que depende de correntes de ar, propriedades do fluido, etc.).
  • A temperatura da sopa em função do tempo é T(t) e a condição inicial é T(0)=T_0.
  • O enunciado diz que a sopa resfriará (logo espera-se T_0>T_a, pelo menos inicialmente).
O objetivo final: obter uma equação diferencial para T(t) e resolver essa equação para encontrar T(t) explicitamente.

Passo 2

Ideia física (bastante intuitiva): a variação de energia térmica da sopa num pequeno intervalo de tempo é igual ao calor perdido para o ambiente nesse intervalo. Vamos escrever isso em termos matemáticos com cuidado e explicando cada termo.
Energia térmica da sopa (variação): a variação de energia interna associada à mudança de temperatura da sopa é
\delta E = m c\, \delta T,
onde m é a massa (kg), c é o calor específico (J/(kg·K)) e \delta T é a variação de temperatura (K). Em termos de taxa temporal, isto vira
\frac{dE}{dt} = m c\,\frac{dT}{dt}.
Explicação: m c é a “inércia térmica” da sopa — quanto maior, mais devagar muda a temperatura para a mesma perda de calor.

Passo 3

Modelo para a taxa de perda de calor: Newton (lei empírica de resfriamento). A taxa de calor que sai da sopa por convecção para o ambiente é, em módulo,
\dot Q = h A\,(T - T_a),
onde h é o coeficiente convectivo (W/(m^2·K)), A é a área de troca (m^2) e T-T_a é a diferença de temperatura (K). Sinal: como a sopa está perdendo calor, o fluxo de energia que sai da sopa é negativo no balanço da sopa. Portanto, o balanço energia → calor perdido dá
m c\,\frac{dT}{dt} = -h A\,(T - T_a).
Aqui expliquei o sinal: o lado direito é negativo quando T>T_a, indicando que a sopa perde energia e sua temperatura diminui.

Passo 4

Reescrevendo a equação diferencial e definindo a constante de taxa. Dividindo ambos os lados por m c obtemos
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{m c}\,(T - T_a).
Definimos a constante de decaimento térmico
k := \frac{h A}{m c},
que tem unidades de \mathrm{s^{-1}} e mede a velocidade do resfriamento (quanto maior k, mais rápido esfria). Assim a equação fica simples:
\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a).

Passo 5

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. É uma ODE linear simples de primeira ordem e também separável. Colocando os termos em lados opostos:
\frac{dT}{T - T_a} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas) e colocamos a constante de integração:
\int \frac{dT}{T - T_a} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\big|T - T_a\big| = -k t + C,
onde C é constante real. Como estamos no caso de resfriamento onde T(t) tipicamente satisfaz T(t)>T_a enquanto dura o resfriamento, podemos eliminar o valor absoluto:
\ln\big(T - T_a\big) = -k t + C.
Expoentei ambos os lados:
T - T_a = C' e^{-k t},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva. Aplicando a condição inicial T(0)=T_0 obtemos
T_0 - T_a = C' e^{0} = C',
logo C' = T_0 - T_a. Portanto a solução explícita é
T(t) = T_a + \big(T_0 - T_a\big)\,e^{-k t}.

Passo 6

Interpretações, dicas para prova e propriedades úteis:
  • Limite em longo prazo: \displaystyle \lim_{t\to\infty} T(t) = T_a. Ou seja, a sopa tende à temperatura ambiente.
  • Tempo característico: \tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{m c}{h A}. Depois de um tempo da ordem de \tau a sobra da diferença de temperatura já caiu bastante (por exemplo, em t=\tau a diferença (T-T_a) caiu para e^{-1}\approx0{,}37 do valor inicial).
  • Sem dados de h, A, m, c não dá para numericamente calcular k, mas se tiveres duas medições (t_1,T_1) e (t_2,T_2) podes estimar k por
k = -\frac{1}{t_2-t_1}\ln\!\left(\frac{T_2-T_a}{T_1-T_a}\right).
  • Dica prática na prova: escreva sempre o balanço de energia m c\,dT/dt = (taxa de calor entrando) — aí a parte mental fica mais organizada.
Força aí — o modelo é simples e elegante; já dá para responder a quase todas as questões sobre resfriamento de objetos em ambiente estável.

Resposta

T(t)=T_a+\big(T_0-T_a\big)\,e^{-k t}

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