Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
amonia a 60 \mathrm{lb} / \mathrm{m}^{2}(413,7 \mathrm{kPa}), 160^{\circ} \mathrm{F}\left(71,1^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dados do problema: P = 60\\ \text{lb/in}^2\\ (\text{o enunciado escreveu "lb/m}^2\text{", mas a conversão indicada }413{,}7\\ \text{kPa}\text{ mostra que é }60\\ \text{psi})ãé
P = 413{,}7\\ \text{kPa}
T = 160^\circ\text{F} = 71{,}1^\circ\text{C} = 344{,}25\\ \text{K}
substância: amónia.
  • Pergunta que preciso responder:
    Determinar o erro percentual associado ao uso do modelo de gás ideal ao calcular o volume específico da amónia nas condições acima.

Passo 2

O que vamos comparar (sem começar a resolver ainda): o volume específico previsto pelo gás ideal, v_{\text{ideal}}, com o volume específico real v_{\text{real}}. Definição útil:
  • Fator de compressibilidade Z é dado por Z = \frac{P v}{R T},onde v é o volume específico real. Assim v_{\text{real}} = Z\;\frac{R T}{P}.Se o gás fosse ideal, Z=1 e v_{\text{ideal}} = \frac{R T}{P}.
Explico as letras:
  • P = pressão absoluta (aqui em \text{kPa});
  • T = temperatura absoluta (em K);
  • R = constante específica da substância (para amónia, em \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K} ou \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{K});
  • v = volume específico ( \text{m}^3/\text{kg});
  • Z indica quanto o gás real se afasta do comportamento ideal ( Z=1 ideal, Z\neq1 desvio).
Método escolhido (breve justificativa): para obter Z de forma quantitativa uso a equação de estado de Peng–Robinson (PR), porque nos dá um valor de Z razoavelmente preciso para vapores não muito próximos à região crítica e é apropriada para amónia nas condições dadas. Vou mostrar passo a passo como aplicar PR e como obter o erro percentual.

Passo 3

Constantes e propriedades da amónia (valores padrão de tabelas):
  • Massa molar \,M = 17{,}031\\ \text{kg/kmol}.
  • Constante universal dos gases \,R_u = 8{,}3144621\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kmol}\cdot\text{K}).
  • Constante específica da amónia R = \frac{R_u}{M}.Calculando: R \approx \frac{8{,}3144621}{17{,}031} \approx 0{,}4882\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{K}).
(Observação: apresentar R com três ou quatro algarismos significativos é suficiente para esta estimativa.)

Passo 4

Calcular o volume específico pelo modelo de gás ideal:
  • Fórmula: v_{\text{ideal}} = \frac{R T}{P}.
  • Substituindo os valores ( R em \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{K}), T em K, P em kPa): v_{\text{ideal}} = \frac{0{,}4882\cdot 344{,}25}{413{,}7}.
  • Cálculo passo a passo: 0{,}4882\cdot 344{,}25 \approx 168{,}05,
v_{\text{ideal}} \approx \frac{168{,}05}{413{,}7} \approx 0{,}4063\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 5

Aplicar a equação de Peng–Robinson para estimar Z.
Fórmula e parâmetros principais (versão usada):
  • Parâmetros críticos e acentricidade (valores padrão para amónia):
    T_c \approx 405{,}4\\ \text{K},\quad P_c \approx 11{,}280\\ \text{kPa},\quad \omega \approx 0{,}250.
  • No PR define-se
    \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2,
\alpha = \bigl(1 + \kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^2.
  • Definem-se os parâmetros adimensionais
    A = 0{,}45724\,\alpha\frac{T_c^2}{P_c}\frac{P}{T^2}, \qquad B = 0{,}07780\frac{T_c}{P_c}\frac{P}{T}.
  • O fator de compressibilidade Z é obtido como raiz real da cúbica
    Z^3 - (1-B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (A B - B^2 - B^3)=0.
Vou calcular A e B numericamente passo a passo.

Passo 6

Cálculo numérico de \kappa, \alpha, A e B:
  • Primeiro T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{344{,}25}{405{,}4} \approx 0{,}849.
\sqrt{T_r} \approx 0{,}9215.
  • \kappa:
    \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}250) - 0{,}26992(0{,}250)^2 \approx 0{,}74333.
  • \alpha:
    \alpha = \bigl(1 + 0{,}74333(1-0{,}9215)\bigr)^2 \approx (1 + 0{,}05836)^2 \approx 1{,}1202.
  • Agora A:
    A = 0{,}45724\cdot 1{,}1202\cdot\frac{T_c^2}{P_c}\cdot\frac{P}{T^2}.
    Calculando por partes:
    \frac{T_c^2}{P_c}\approx\frac{405{,}4^2}{11{,}280}\approx 14{,}571, \qquad \frac{P}{T^2}\approx\frac{413{,}7}{344{,}25^2}\approx 0{,}003492.
A \approx 0{,}45724\cdot 1{,}1202\cdot 14{,}571\cdot 0{,}003492 \approx 0{,}02605.
  • E B: B = 0{,}07780\cdot\frac{T_c}{P_c}\cdot\frac{P}{T} = 0{,}07780\cdot\frac{405{,}4}{11{,}280}\cdot\frac{413{,}7}{344{,}25} \approx 0{,}003358.

Passo 7

Resolver a cúbica de Peng–Robinson para Z.
  • A cúbica fica (com os valores numéricos):
    Z^3 - (1-0{,}003358)Z^2 + (0{,}02605 - 3(0{,}003358)^2 - 2(0{,}003358))Z -(\,0{,}02605\cdot0{,}003358 - (0{,}003358)^2 - (0{,}003358)^3\,)=0.
    Simplificando os coeficientes numericamente:
    Z^3 - 0{,}996642\,Z^2 + 0{,}01930\,Z - 0{,}00007621 \approx 0.
  • Procuramos a raiz real maior (vapor). Fazendo tentativa/iteração simples:
    testando Z=0{,}975 dá valor negativo da função; Z=0{,}98 dá positivo; interpolando obtemos
    Z \approx 0{,}9762.
(Comentário: este passo normalmente é feito por uma calculadora/PC; aqui mostrei a busca por tentativa para ficar didático.)

Passo 8

Obter o volume específico real e a diferença:
  • Volume específico real:
    v_{\text{real}} = Z\frac{R T}{P} = Z\;v_{\text{ideal}}.
    Substituindo:
    v_{\text{real}} \approx 0{,}9762\cdot 0{,}4063 \approx 0{,}3966\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Diferença absoluta:
    \Delta v = v_{\text{ideal}} - v_{\text{real}} \approx 0{,}4063 - 0{,}3966 \approx 0{,}0097\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 9

Calcular o erro percentual associado ao uso do modelo ideal.
  • Definição usada (erro percentual relativo ao valor real, que é a maneira usual de expressar “erro de modelo”):
    \text{erro \%} = \frac{v_{\text{ideal}} - v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times 100\%.
  • Substituindo números:
    \text{erro \%} \approx \frac{0{,}0097}{0{,}3966}\times 100\% \approx 2{,}44\%.
Interpretação rápida: o modelo de gás ideal superestima o volume específico da amónia em cerca de 2{,}4\% nas condições dadas — não é um erro grande, mas também não desprezível se você precisa de alta precisão.

Resposta

2{,}44%

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