Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
vapor d’água a 2000 \mathrm{lb} / \mathrm{la}^{-1}(13,8 \mathrm{MPa}), 700^{\circ} \mathrm{F}\left(371,1^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O problema pede: determinar o erro percentual cometido ao usar o modelo de gás ideal para calcular o volume específico do vapor d’água nas condições \,2000\\ \text{lb/in}^2 (que o enunciado dá como 13{,}8\\ \text{MPa}) e 700^\circ\mathrm{F} (que o enunciado dá como 371{,}1^\circ\mathrm{C}).\n
Informações fornecidas (já listadas):
P = 2000\\ \text{lb/in}^2 = 13{,}8\\ \text{MPa} = 13{,}8\times10^6\\ \text{Pa},
T = 700^\circ\mathrm{F} = 371{,}1^\circ\mathrm{C} = 371{,}1+273{,}15 = 644{,}25\\ \text{K}.
Também vamos precisar de constantes físicas do vapor d’água (valores conhecidos):
M = 18{,}01528\times10^{-3}\\ \text{kg/mol}\quad(\text{massa molar da água}),á
R_u = 8{,}3144626\\ \text{J/(mol·K)}.
Aqui a pergunta é única: calcular o erro percentual entre o volume específico obtido por gás ideal e o volume específico real do vapor nessas condições. A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Cálculo do volume específico pelo modelo de gás ideal — revisão rápida e fórmula.\n
A lei dos gases ideais, em forma por massa específica (volume específico v), é:
v_{\text{ideal}}=\frac{R_{\text{sp}}\,T}{P},
onde R_{\text{sp}} é a constante de gás específica da substância:
R_{\text{sp}}=\frac{R_u}{M}.
Explicando: R_u é a constante universal dos gases (J·mol{-1}·K{-1}), M é a massa molar (kg·mol^{-1}), então R_{\text{sp}} tem unidades J·kg{-1}·K{-1} = Pa·m3·kg{-1}·K^{-1}, compatível com a fórmula acima.\n
Calculemos R_{\text{sp}}:
R_{\text{sp}}=\frac{8{,}3144626}{0{,}01801528}=461{,}52\\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}.
Agora aplicamos a fórmula:
v_{\text{ideal}}=\frac{461{,}52\cdot 644{,}25}{13{,}8\times10^{6}}.
Computando:
461{,}52\cdot 644{,}25 \approx 297\,334{,}5,
v_{\text{ideal}} \approx \frac{297\,334{,}5}{13{,}800{,}000} \approx 0{,}02154\\ \text{m}^3\!/\text{kg}.

Passo 3

Porque o resultado ideal pode estar errado e como obter o volume específico real — introdução didática ao fator de compressibilidade Z e ao método usado.\n
O gás ideal assume interação nula entre moléculas e volume molecular desprezível; para vapor de água em alta pressão e temperatura próxima ao crítico essas hipóteses falham. Uma forma prática de corrigir é usar o fator de compressibilidade Z, definindo
v_{\text{real}}=\frac{Z\,R_{\text{sp}}\,T}{P}.
Explicando Z: é o quociente entre o volume molar real e o volume molar previsto pelo gás ideal; Z=1 para gás ideal, Z\neq1 quando há desvios. Para obter Z usamos uma equação de estado realista; aqui aplicaremos a equação de Peng–Robinson (PR) porque ela é amplamente usada para vapores e permite calcular Z resolvendo um polinômio cúbico em Z.\n
A forma cúbica do PR em termos de Z é:
Z^3 - (1-B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (AB - B^2 - B^3) = 0,
com
A=\frac{a(T)P}{R_u^2 T^2},\qquad B=\frac{bP}{R_u T},
e os parâmetros a(T) e b dados por
a(T)=a\cdot \alpha(T),\qquad a=0{,}45724\frac{R_u^2 T_c^2}{P_c},\qquad b=0{,}07780\frac{R_u T_c}{P_c},
\alpha(T) = \bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr]^2,\qquad \kappa = 0{,}37464+1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.
Aqui: T_c,P_c,\omega são temperatura crítica, pressão crítica e fator acêntrico da substância (valores conhecidos para água). Vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 4

Valores críticos e cálculo dos parâmetros PR para a água (valores padrão):
T_c = 647{,}096\\ \text{K},\qquad P_c = 22{,}064\times10^{6}\\ \text{Pa},\qquad \omega = 0{,}344.
Calculemos \kappa:
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\cdot0{,}344 - 0{,}26992\cdot(0{,}344)^2 \approx 0{,}87354.
Calcule \alpha(T). Primeiro \sqrt{T/T_c}=\sqrt{644{,}25/647{,}096}\approx 0{,}99795, logo
1-\sqrt{T/T_c}\approx 0{,}00205,
\alpha(T) = [1 + 0{,}87354\cdot 0{,}00205]^2 \approx 1{,}00358.
Agora a e b:
a = 0{,}45724\frac{R_u^2 T_c^2}{P_c} \approx 0{,}60017\quad(\text{unidade consistente}),
b = 0{,}07780\frac{R_u T_c}{P_c} \approx 1{,}897\times10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{mol}.
Então
a(T)=a\cdot\alpha(T)\approx 0{,}60224.
Agora calculemos A e B:
B=\frac{bP}{R_u T} \approx \frac{1{,}897\times10^{-5}\cdot 13{,}8\times10^{6}}{8{,}3144626\cdot644{,}25}\approx 0{,}04886,
A=\frac{a(T)P}{R_u^2 T^2}\approx \frac{0{,}60224\cdot13{,}8\times10^{6}}{(8{,}3144626)^2\cdot(644{,}25)^2}\approx 0{,}2898.
Montando o polinômio cúbico em Z:
Z^3 - (1-0{,}04886)Z^2 + \bigl(0{,}2898 - 3(0{,}04886)^2 - 2(0{,}04886)\bigr)Z - \bigl(0{,}2898\cdot0{,}04886 - (0{,}04886)^2 - (0{,}04886)^3\bigr) = 0.
Os coeficientes numéricos são (aprox.):
Z^3 - 0{,}95114 Z^2 + 0{,}184919 Z - 0{,}0116564 = 0.

Passo 5

Resolução numérica do cúbico para obter Z (passo-a-passo numérico simples).\n
Procuramos a raiz física correspondente ao estado vapor (a maior raiz real). Avaliando o polinômio em alguns pontos:
f(0{,}7)\approx -0{,}00527,\quad f(0{,}75)\approx +0{,}01427,
portanto há raiz entre 0{,}7 e 0{,}75. Refinando por tentativa:
f(0{,}716)\approx +0{,}00046,\quad f(0{,}715)\approx -0{,}00036.
Interpolando linearmente entre 0{,}715 e 0{,}716 obtemos
Z \approx 0{,}71544.
Interpretação: Z<1 significa que o vapor está mais comprimido (menor volume) do que o previsto pelo gás ideal — justamente por efeitos reais intermoleculares em alta pressão e temperatura próxima ao crítico.

Passo 6

Cálculo do volume específico real usando Z.\n
O volume molar real é
V_m = \frac{Z R_u T}{P}.
Com Z\approx 0{,}71544:
V_m \approx \frac{0{,}71544\cdot 8{,}3144626\cdot 644{,}25}{13{,}8\times10^{6}} \approx 2{,}7798\times10^{-4}\\ \text{m}^3/\text{mol}.
Convertendo para volume específico (por massa):
v_{\text{real}}=\frac{V_m}{M} \approx \frac{2{,}7798\times10^{-4}}{0{,}01801528} \approx 0{,}01542\\ \text{m}^3\!/\text{kg}.

Passo 7

Cálculo do erro percentual do modelo de gás ideal.\n
Definimos o erro percentual relativo ao valor real como
\text{Erro \%}=\frac{v_{\text{ideal}}-v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times100\%.
Substituindo os valores numéricos:
v_{\text{ideal}}\approx 0{,}02154\\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_{\text{real}}\approx 0{,}01542\\ \text{m}^3/\text{kg},
\text{Erro \%}=\frac{0{,}02154-0{,}01542}{0{,}01542}\times100\%\approx 39{,}7\%.
Interpretação curta: o modelo de gás ideal superestima o volume específico em aproximadamente 39{,}7\% nessas condições.

Resposta

Erro percentual ≈ 39{,}7\% (o modelo de gás ideal superestima o volume específico).

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