Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
vapor d’água a
vapor d’água a
Passo 1
O problema pede: determinar o erro percentual cometido ao usar o modelo de gás ideal para calcular o volume específico do vapor d’água nas condições
(que o enunciado dá como
) e
(que o enunciado dá como
).\n
Informações fornecidas (já listadas):
Informações fornecidas (já listadas):
Também vamos precisar de constantes físicas do vapor d’água (valores conhecidos):
Aqui a pergunta é única: calcular o erro percentual entre o volume específico obtido por gás ideal e o volume específico real do vapor nessas condições. A resolução numérica começa no próximo passo.
Passo 2
Cálculo do volume específico pelo modelo de gás ideal — revisão rápida e fórmula.\n
A lei dos gases ideais, em forma por massa específica (volume específico ), é:
A lei dos gases ideais, em forma por massa específica (volume específico
onde
é a constante de gás específica da substância:
Explicando:
é a constante universal dos gases (J·mol{-1}·K{-1}),
é a massa molar (kg·mol^{-1}), então
tem unidades J·kg{-1}·K{-1} = Pa·m3·kg{-1}·K^{-1}, compatível com a fórmula acima.\n
Calculemos :
Calculemos
Agora aplicamos a fórmula:
Computando:
Passo 3
Porque o resultado ideal pode estar errado e como obter o volume específico real — introdução didática ao fator de compressibilidade
e ao método usado.\n
O gás ideal assume interação nula entre moléculas e volume molecular desprezível; para vapor de água em alta pressão e temperatura próxima ao crítico essas hipóteses falham. Uma forma prática de corrigir é usar o fator de compressibilidade , definindo
O gás ideal assume interação nula entre moléculas e volume molecular desprezível; para vapor de água em alta pressão e temperatura próxima ao crítico essas hipóteses falham. Uma forma prática de corrigir é usar o fator de compressibilidade
Explicando
: é o quociente entre o volume molar real e o volume molar previsto pelo gás ideal;
para gás ideal,
quando há desvios. Para obter
usamos uma equação de estado realista; aqui aplicaremos a equação de Peng–Robinson (PR) porque ela é amplamente usada para vapores e permite calcular
resolvendo um polinômio cúbico em
.\n
A forma cúbica do PR em termos de é:
A forma cúbica do PR em termos de
com
e os parâmetros
e
dados por
Aqui:
são temperatura crítica, pressão crítica e fator acêntrico da substância (valores conhecidos para água). Vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 4
Valores críticos e cálculo dos parâmetros PR para a água (valores padrão):
Calculemos
:
Calcule
. Primeiro
, logo
Agora
e
:
Então
Agora calculemos
e
:
Montando o polinômio cúbico em
:
Os coeficientes numéricos são (aprox.):
Passo 5
Resolução numérica do cúbico para obter
(passo-a-passo numérico simples).\n
Procuramos a raiz física correspondente ao estado vapor (a maior raiz real). Avaliando o polinômio em alguns pontos:
Procuramos a raiz física correspondente ao estado vapor (a maior raiz real). Avaliando o polinômio em alguns pontos:
portanto há raiz entre
e
. Refinando por tentativa:
Interpolando linearmente entre 0{,}715 e 0{,}716 obtemos
Interpretação:
significa que o vapor está mais comprimido (menor volume) do que o previsto pelo gás ideal — justamente por efeitos reais intermoleculares em alta pressão e temperatura próxima ao crítico.
Passo 6
Cálculo do volume específico real usando
.\n
O volume molar real é
O volume molar real é
Com
:
Convertendo para volume específico (por massa):
Passo 7
Cálculo do erro percentual do modelo de gás ideal.\n
Definimos o erro percentual relativo ao valor real como
Definimos o erro percentual relativo ao valor real como
Substituindo os valores numéricos:
Interpretação curta: o modelo de gás ideal superestima o volume específico em aproximadamente
nessas condições.
Resposta
Erro percentual ≈
(o modelo de gás ideal superestima o volume específico).