Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
vapor d’dgua a
vapor d’dgua a
Passo 1
O enunciado pede o erro percentual cometido ao usar o modelo do gás ideal para calcular o volume específico (volume por massa) do vapor d’água nas condições:
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: erro percentual relativo entre o volume específico obtido pelo gás ideal e o volume específico real do vapor d’água nessas condições. Em termos algébricos queremos
Passo 2
Explicação do método e fórmulas fundamentais (aquelas que vou usar).
- Lei dos gases ideais na forma para volume específico:
Aqui
é o volume específico em
,
é a constante específica do gás (
),
é a temperatura absoluta em K e
a pressão em kPa.
- Para vapor d’água a constante específica é
Breve mini-aula: essa constante deriva da constante universal dos gases
dividida pela massa molar da água. Na prática usamos o valor tabulado
.
- Para estimar a diferença entre gás real e ideal usamos o fator de compressibilidade
, definido por
logo
O erro percentual ao usar o gás ideal (que assume
) fica então
Para gases a pressões baixas é comum aproximar
com a expansão de virial na forma de pressão:
onde
é o segundo coeficiente virial na forma em função da pressão (unidade
). Ele se relaciona com o coeficiente virial molar
por
Vou usar essa aproximação (apenas o segundo coeficiente) porque aqui
é muito baixo (6,9 kPa) e termos superiores são desprezíveis — isso é padrão para estimar desvios de idealidade a baixas pressões.
Passo 3
Converto e calculo
explicitamente.
- Temperatura em Kelvin:
- Constante específica:
- Aplicando a lei dos gases ideais:
Faço as contas passo a passo:
Interpretação: pelo modelo ideal o vapor teria um volume específico enorme, cerca de
(isso é normal em pressões tão baixas).
Passo 4
Estimativa do fator de compressibilidade
usando a expansão de virial de segunda ordem.
- Primeiro precisamos de um valor razoável para o coeficiente virial molar
da água a . Valores tabulados de para vapor d’água nessa faixa tipicamente estão na ordem de dezenas a centenas de (sinal pode ser negativo). Para um cálculo estimado e conservador uso
Obs.: esse é um valor típico de ordem de grandeza para vapor d’água nessa temperatura; o objetivo é estimar o erro e verificar se é significativo.
- Calculo
(constante universal):
- Agora
- Aplicando
com :
Passo 5
Determinação do volume específico real e do erro percentual.
- Como
,
- Erro percentual (ideal vs real):
Interpretação didática: isto significa que o volume específico calculado pelo modelo ideal difere do real em apenas cerca de
. Em outras palavras, para pressão tão baixa a 1 psi e a essa temperatura o vapor d’água se comporta quase como um gás ideal — o desvio é desprezível.
Passo 6
Confirmação da validade da aproximação e comentário final (motivacional amigo).
- Fiz uma aproximação truncando a expansão de virial no segundo termo e usando um valor típico de
. Como é muito baixo (6,9 kPa), mesmo um erro moderado no daria um muito pequeno, logo o resultado (erro muito pequeno) é robusto. - Conclusão prática: para cálculos de engenharia à mão (provas, estimativas rápidas) nessa condição usar o gás ideal é totalmente aceitável — o erro é da ordem de
, ou seja, praticamente zero para a maioria das aplicações.