Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
vapor d’dgua a 1 \mathrm{lb} / \mathrm{lin}{ }^{1}(6,9 \mathrm{kPa}), 200^{\circ} \mathrm{F}\left(93,3^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede o erro percentual cometido ao usar o modelo do gás ideal para calcular o volume específico (volume por massa) do vapor d’água nas condições:
P = 1\\ \text{lb/in}^2 = 6{,}9\\ \text{kPa}, \qquad T = 200^\circ\text{F} = 93{,}3^\circ\text{C}.
Informações relevantes fornecidas:
P=6{,}9\\ \text{kPa},\qquad T=200^\circ\text{F}=273{,}15+93{,}3=366{,}45\\ \text{K}\\ (\text{aprox.})
O que se pede: erro percentual relativo entre o volume específico obtido pelo gás ideal e o volume específico real do vapor d’água nessas condições. Em termos algébricos queremos
\text{erro \%} = \frac{v_{\text{ideal}}-v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times 100\%.

Passo 2

Explicação do método e fórmulas fundamentais (aquelas que vou usar).
  • Lei dos gases ideais na forma para volume específico:
v_{\text{ideal}}=\frac{R\,T}{P}.
Aqui v é o volume específico em \text{m}^3/\text{kg}, R é a constante específica do gás ( \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{K}), T é a temperatura absoluta em K e P a pressão em kPa.
  • Para vapor d’água a constante específica é
R_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}4615\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{K}).
Breve mini-aula: essa constante deriva da constante universal dos gases R_u dividida pela massa molar da água. Na prática usamos o valor tabulado 0{,}4615.
  • Para estimar a diferença entre gás real e ideal usamos o fator de compressibilidade Z, definido por
Z=\frac{P\,v_{\text{real}}}{R\,T},
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v_{\text{real}}=\frac{Z\,R\,T}{P}=Z\,v_{\text{ideal}}.
O erro percentual ao usar o gás ideal (que assume Z=1) fica então
\text{erro \%}=\left(\frac{v_{\text{ideal}}-v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\right)\times100\%=\left(\frac{1}{Z}-1\right)\times100\%.
Para gases a pressões baixas é comum aproximar Z com a expansão de virial na forma de pressão:
Z \approx 1 + B_p(T)\,P,
onde B_p(T) é o segundo coeficiente virial na forma em função da pressão (unidade 1/\text{pressão}ã). Ele se relaciona com o coeficiente virial molar B(T) por
B_p(T)=\frac{B(T)}{R_u\,T}.
Vou usar essa aproximação (apenas o segundo coeficiente) porque aqui P é muito baixo (6,9 kPa) e termos superiores são desprezíveis — isso é padrão para estimar desvios de idealidade a baixas pressões.

Passo 3

Converto e calculo v_{\text{ideal}} explicitamente.
  • Temperatura em Kelvin:
T=273{,}15+93{,}3=366{,}45\\ \text{K}\quad(\text{usarei }366{,}48\\ \text{K}\\ \text{por arredondamento}).
  • Constante específica:
R=0{,}4615\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Aplicando a lei dos gases ideais:
v_{\text{ideal}}=\frac{R\,T}{P}=\frac{0{,}4615\cdot 366{,}48}{6{,}9}.
Faço as contas passo a passo:
R\,T=0{,}4615\times 366{,}48\approx 169{,}12\\ (\text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}).
v_{\text{ideal}}=\frac{169{,}12}{6{,}9}\approx 24{,}52\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Interpretação: pelo modelo ideal o vapor teria um volume específico enorme, cerca de 24{,}5\\ \text{m}^3/\text{kg} (isso é normal em pressões tão baixas).

Passo 4

Estimativa do fator de compressibilidade Z usando a expansão de virial de segunda ordem.
  • Primeiro precisamos de um valor razoável para o coeficiente virial molar B(T) da água a T\approx 366{,}5\\ \text{K}. Valores tabulados de B(T) para vapor d’água nessa faixa tipicamente estão na ordem de dezenas a centenas de \text{cm}^3/\text{mol} (sinal pode ser negativo). Para um cálculo estimado e conservador uso
B(T)\approx -60\\ \text{cm}^3/\text{mol} = -6{,}0\times 10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{mol}.
Obs.: esse é um valor típico de ordem de grandeza para vapor d’água nessa temperatura; o objetivo é estimar o erro e verificar se é significativo.
  • Calculo R_u\,T (constante universal):
R_u=8{,}314462618\\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})=8{,}314462618\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{mol}\cdot\text{K}).
R_u\,T=8{,}31446\times 366{,}48\approx 3{,}047\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{mol}.
  • Agora
B_p(T)=\frac{B(T)}{R_u\,T}=\frac{-6{,}0\times 10^{-5}}{3{,}047}\approx -1{,}97\times 10^{-5}\\ \text{kPa}^{-1}.
  • Aplicando Z\approx 1 + B_p\,P com P=6{,}9\\ \text{kPa}:
Z\approx 1 + (-1{,}97\times 10^{-5})\times 6{,}9 =1 - 1{,}36\times 10^{-4} \approx 0{,}999864.

Passo 5

Determinação do volume específico real e do erro percentual.
  • Como v_{\text{real}}=Z\,v_{\text{ideal}},
v_{\text{real}}\approx 0{,}999864\times 24{,}52\approx 24{,}52\times 0{,}999864\approx 24{,}516\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Erro percentual (ideal vs real):
\text{erro \%}=\left(\frac{1}{Z}-1\right)\times100\% =\left(\frac{1}{0{,}999864}-1\right)\times100\% \approx 0{,}0136\%\\ \text{(aprox.)}.
Interpretação didática: isto significa que o volume específico calculado pelo modelo ideal difere do real em apenas cerca de 1{,}36\times 10^{-2}\%. Em outras palavras, para pressão tão baixa a 1 psi e a essa temperatura o vapor d’água se comporta quase como um gás ideal — o desvio é desprezível.

Passo 6

Confirmação da validade da aproximação e comentário final (motivacional amigo).
  • Fiz uma aproximação truncando a expansão de virial no segundo termo e usando um valor típico de B(T). Como P é muito baixo (6,9 kPa), mesmo um erro moderado no B(T) daria um B_pP muito pequeno, logo o resultado (erro muito pequeno) é robusto.
  • Conclusão prática: para cálculos de engenharia à mão (provas, estimativas rápidas) nessa condição usar o gás ideal é totalmente aceitável — o erro é da ordem de 10^{-2}\%, ou seja, praticamente zero para a maioria das aplicações.

Resposta

\displaystyle \text{Erro percentual}\approx 0{,}0136\%

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