Determine a fase e as propriedades que faltam ( p, T, v, e x ) para os seguintes casos:
(c) \mathrm{CH}_{4} \quad T=155 \mathrm{~K} \quad v=0.04 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Substância: \mathrm{CH}_4.
  • Temperatura fornecida: T=155\\ \mathrm{K}.
  • Volume específico fornecido: v=0{,}04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Propriedades a determinar: pressão p e título (qualidade) x. Também precisamos identificar a fase (sólido/líquido/vapor/mistura).
  • Informação útil que vamos usar: para saber a fase devemos comparar v com os volumes específicos saturados à mesma temperatura, v_f(T) (líquido saturado) e v_g(T) (vapor saturado). Se v_f < v < v_g então é mistura bifásica e p é a pressão de saturação à temperatura dada; x obtém-se pela regra de mistura.

Passo 2

Estratégia e justificativa (sem ainda calcular): como não temos uma tabela de propriedades explícita aqui, vamos estimar a pressão de saturação \,p_{sat}(T)\, em T=155\\ \mathrm{K} e então obter v_g e v_f. Para estimar p_{sat} vamos aproximar a relação entre \ln p e 1/T por uma reta usando dois pontos conhecidos: ponto de ebulição a 1 atm e o ponto crítico. Isto é uma aproximação razoável para obter uma p_{sat} aproximada quando não se tem tabela à mão. Depois calculamos v_g aproximando o vapor saturado pelo gás ideal (válido como estimativa quando a pressão não está extremamente alta) e estimamos v_f a partir de uma interpolação simples da densidade do líquido entre o ponto de ebulição e o ponto crítico (novamente uma aproximação prática).

Passo 3

Montagem da aproximação linear para \ln p vs 1/T.
Usamos os dois pontos:
  • Ponto A (ponto de ebulição a 1\\ \mathrm{atm}): T_A = 111{,}65\\ \mathrm{K} e p_A = 0{,}101325\\ \mathrm{MPa}.
  • Ponto B (ponto crítico): T_B = 190{,}56\\ \mathrm{K} e p_B = 4{,}599\\ \mathrm{MPa}.
Aproximamos \ln p como função linear de 1/T:
\ln p = a\left(\frac{1}{T}\right) + b.
Calculamos a inclinação a e o intercepto b usando os dois pontos:
a = \frac{\ln p_B - \ln p_A}{\dfrac{1}{T_B} - \dfrac{1}{T_A}},\qquad b = \ln p_A - a\cdot\frac{1}{T_A}.

Passo 4

Cálculo numérico de a e b (mostrando contas):
\ln p_A = \ln(0{,}101325) \approx -2{,}289,\qquad \ln p_B = \ln(4{,}599) \approx 1{,}525.
\frac{1}{T_A} = \frac{1}{111{,}65}\approx 0{,}008955\\ \mathrm{K^{-1}},\qquad \frac{1}{T_B} = \frac{1}{190{,}56}\approx 0{,}005249\\ \mathrm{K^{-1}}.
a = \frac{1{,}525 - (-2{,}289)}{0{,}005249 - 0{,}008955} = \frac{3{,}814}{-0{,}003706}\approx -1030\\ \mathrm{K}.
b = -2{,}289 - (-1030)\cdot 0{,}008955 \approx -2{,}289 + 9{,}224 \approx 6{,}935.

Passo 5

Estimativa da pressão de saturação em T=155\\ \mathrm{K}:
\ln p_{sat} = a\cdot\frac{1}{155} + b = -1030\cdot\frac{1}{155} + 6{,}935.
Calculando:
\frac{1}{155}\approx 0{,}006452,\qquad \ln p_{sat}\approx -1030\cdot 0{,}006452 + 6{,}935 \approx -6{,}645 + 6{,}935 = 0{,}290.
p_{sat} \approx e^{0{,}290} \approx 1{,}336\\ \mathrm{MPa}.
Observação: esta é uma estimativa por aproximação; valor tabelado deve ser consultado para precisão, mas este valor é razoável para propósitos práticos.

Passo 6

Cálculo do volume específico do vapor saturado v_g (usando gás ideal como aproximação):
primeiro calculamos a constante específica do gás para metano:
R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\,K)}}{0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 518{,}0\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Usamos a equação do gás ideal para o vapor saturado:
v_g \approx \frac{R\,T}{p_{sat}}.
Substituindo:
v_g \approx \frac{518{,}0\cdot 155}{1{,}336\times 10^{6}} = \frac{80\,290}{1{,}336\times 10^{6}}\approx 0{,}0602\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 7

Estimativa do volume específico do líquido saturado v_f em 155\\ \mathrm{K}:
  • Tomamos como referência densidade do líquido em T_A=111{,}65\\ \mathrm{K}: \rho_{f,A}\approx 422\\ \mathrm{kg/m}^3 (valor típico para metano líquido próximo ao ponto de ebulição).
  • No crítico ( T_B) a densidade crítica aproximada é \rho_{c}\approx 162\\ \mathrm{kg/m}^3.
    Fazemos uma interpolação linear aproximada da densidade entre 111{,}65\\ \mathrm{K} e 190{,}56\\ \mathrm{K} para T=155\\ \mathrm{K}:
\text{fração}=\frac{155-111{,}65}{190{,}56-111{,}65}\approx 0{,}549.çã
\rho_f(155)\approx 422 - 0{,}549(422-162)=422-0{,}549\cdot 260\approx 279{,}3\\ \mathrm{kg/m}^3.
v_f=\frac{1}{\rho_f}\approx \frac{1}{279{,}3}\approx 0{,}00358\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Observação: isto é uma estimativa prática; a tabela daria o número exato.

Passo 8

Comparação de v com v_f e v_g:
v_f\approx 0{,}00358\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},\qquad v_g\approx 0{,}0602\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Como v_f < v (=0{,}04) < v_g, o estado está na região bifásica (mistura líquido + vapor) à temperatura dada. Portanto a pressão do sistema é igual à pressão de saturação \,p=p_{sat}(155\\ \mathrm{K}).

Passo 9

Cálculo do título (qualidade) x pela regra da alavanca:
v = (1-x)\,v_f + x\,v_g \quad\Rightarrow\quad x = \frac{v - v_f}{v_g - v_f}.
Substituindo os valores estimados:
x \approx \frac{0{,}04 - 0{,}00358}{0{,}0602 - 0{,}00358} = \frac{0{,}03642}{0{,}05662}\approx 0{,}6439 \approx 0{,}644.

Passo 10

Resumo e observações finais:
  • A pressão do sistema é a pressão de saturação à temperatura dada: p\approx 1{,}336\\ \mathrm{MPa}.
  • O estado é mistura bifásica (líquido saturado + vapor saturado).
  • O título (fração mássica de vapor) é x\approx 0{,}644 (ou seja, cerca de 64{,}4\% de massa em vapor).
  • Valores de v_f e v_g usados nas contas (estimativas): v_f\approx 0{,}00358\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, v_g\approx 0{,}0602\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Observação importante: essas respostas foram obtidas por aproximações (interpolação de densidade e ajuste linear de \ln p versus 1/T, além de usar o gás ideal para v_g). Para precisão de prova/uso prático consulte a tabela de saturação de metano: os valores numéricos tabelados podem diferir ligeiramente, mas a conclusão sobre a fase (mistura) e o procedimento para obter p e x estão corretos.

Resposta

Fase: mistura bifásica (líquido saturado + vapor saturado).
p \approx 1{,}336\\ \mathrm{MPa}.
x \approx 0{,}644

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