Determine o fator de compressibilidade do vapor d’água a 200 bar e 470^{\circ} \mathrm{C}, utilizando
dados das tabelas de vapor.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o fator de compressibilidade do vapor d’água nas condições:
p=200\\ \text{bar},\qquad T=470^\circ\text{C}.
Informações fornecidas:
  • A pressão: p=200\\ \text{bar}.
  • A temperatura: T=470^\circ\text{C}.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular o fator de compressibilidade Z nessas condições, usando dados de vapor (ou, na ausência direta das tabelas, um procedimento que recupere o comportamento real do vapor).

Passo 2

O que é o fator de compressibilidade e como ele se relaciona com grandezas que conhecemos.
Definição:
Z=\frac{p\,v}{R\,T},
onde:
  • Z é o fator de compressibilidade (adimensional);
  • p é a pressão (em Pa);
  • v é o volume molar (ou específico, dependendo da base; aqui usaremos base molar v em \mathrm{m^3/mol});
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Interpretação prática: para obter Z precisamos do volume molar real v do vapor nessas condições. Nas tabelas de vapor normalmente encontramos volumes específicos ou densidades. Se não tivermos a tabela na mão, podemos obter v resolvendo uma equação de estado real (por exemplo Peng–Robinson) avaliada nas condições dadas. Eu vou usar essa via (equação de estado), porque ela fornece uma estimativa quantitativa consistente quando as tabelas não estão fisicamente disponíveis aqui.

Passo 3

Converter unidades e dados críticos necessários para a equação de estado.
Converter pressão e temperatura:
p=200\\ \text{bar}=2{,}00\times10^{7}\\ \text{Pa},
T=470^\circ\text{C}=470+273{,}15=743{,}15\\ \text{K}.
Propriedades críticas e acentricidade da água (valores padrão que usamos nas fórmulas):
T_c=647{,}096\\ \text{K},\qquad p_c=22{,}064\times10^{6}\\ \text{Pa},\qquad \omega=0{,}344.

Passo 4

Escolha da equação de estado e apresentação das fórmulas que vamos usar.
Vou usar a equação de estado de Peng–Robinson (PR). A forma prática é trabalhar com as quantidades adimensionais
A=\frac{a\,p}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{b\,p}{R\,T},
onde a e b são parâmetros da PR dados por
a=a_c\,\alpha(T),\qquad a_c=0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{p_c},\qquad b=0{,}07780\frac{R T_c}{p_c},
e a função de temperatura
\alpha(T)=\bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^{2},
com
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^{2}.
A equação cúbica em Z (forma padrão da PR) é:
Z^{3} -(1-B)Z^{2} +\bigl(A-3B^{2}-2B\bigr)Z -\bigl(A B - B^{2}-B^{3}\bigr)=0.
A raiz real e maior dessa cúbica corresponde ao estado vapor (quando existir essa raiz).

Passo 5

Calcular a_c e b.
Primeiro:
a_c=0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{p_c}.
Substituindo os valores:
R=8{,}314462618,\quad T_c=647{,}096,\quad p_c=22{,}064\times10^{6},
obtém-se (cálculo numérico passo a passo)
a_c\approx0{,}60010\\ \mathrm{(unidades\\ de\\ } \mathrm{Pa\,m^{6}/mol^{2}}).
Em seguida:
b=0{,}07780\frac{R T_c}{p_c}\approx1{,}8972\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
(Explanação rápida: a_c mede a força das interações atrativas e tem unidade que combina com R^{2}T^{2}/p; b mede o volume finito das moléculas.)

Passo 6

Calcular \kappa, \alpha(T) e a.
Calcular \kappa com \omega=0{,}344:
\kappa=0{,}37464+1{,}54226(0{,}344)-0{,}26992(0{,}344)^{2}\approx0{,}87274.
Calcular \alpha(T):
\sqrt{\frac{T}{T_c}}=\sqrt{\frac{743{,}15}{647{,}096}}\approx1{,}0726,
\alpha(T)=\bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^{2}\approx(1+0{,}87274(1-1{,}0726))^{2}\approx0{,}8762.
Portanto
a=a_c\,\alpha(T)\approx0{,}60010\times0{,}8762\approx0{,}5257.

Passo 7

Calcular os parâmetros adimensionais A e B.
Usando as definições:
A=\frac{a\,p}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{b\,p}{R\,T}.
Cálculo numérico (substituindo p=2{,}00\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} e T=743{,}15\\ \mathrm{K}):
A\approx0{,}2752,\qquad B\approx0{,}06142.
(Interpretação: A mede efeito relativo das forças atrativas à pressão/temperatura dadas; B mede o efeito do volume finito comparado com R T/p.)

Passo 8

Montar a equação cúbica em Z e resolver numericamente.
Substituindo A e B na forma cúbica:
Z^{3}-(1-B)Z^{2}+(A-3B^{2}-2B)Z-(A B - B^{2}-B^{3})=0,
com os valores numéricos
1-B\approx0{,}93858,
A-3B^{2}-2B\approx0{,}14104,
A B - B^{2}-B^{3}\approx0{,}012897.
A cúbica fica (valores numéricos):
Z^{3}-0{,}93858\,Z^{2}+0{,}14104\,Z-0{,}012897=0.
Resolvendo numericamente (procura-se a maior raiz real, que corresponde ao estado vapor) encontramos, por iteração/interpolação,
Z\approx0{,}7786.
Breve nota sobre método numérico: para resolver a cúbica eu testei valores de Z na faixa típica para vapor e usei interpolação linear refinada até convergir ao valor indicado (isso equivale ao procedimento que você poderia adotar na prova se tiver uma calculadora com solver ou fizer iterações manuais).

Passo 9

Verificação e discussão física rápida.
  • Resultado Z\approx0{,}779<1 significa que, nessas condições (pressão bastante alta, próxima da pressão crítica, e temperatura acima da crítica), as forças intermoleculares atrativas ainda fazem o fluido ocupar um volume menor que o previsto pelo gás ideal (por isso Z<1). Isso é consistente com o vapor d’água próximo da região crítica.
  • Se você tivesse as tabelas de vapor (tabelas superaquecido / propriedades reais), poderia obter o volume específico v diretamente e então calcular Z por Z=p v/(R T). O valor obtido pela PR aqui é uma boa estimativa quando não há tabela disponível ou para checagem.

Resposta

Z\approx0{,}779

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