Um tanque de volume 5 \mathrm{~m}^{3}, RÍGIDO e fechado, contém água. Inicialmente, a pressão é 3 bar e temperatura 200^{\circ} \mathrm{C}. O tanque é colocado em um ambiente com temperatura inferior à da água do tanque, iniciando um processo de transferência de calor e resfriamento da água. Ao final do processo de resfriamento, a temperatura da água é 50^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a massa de água no tanque e a pressão ao final do processo de resfriamento. Representar o processo indicando os 3 pontos em um diagrama Tv (0,5 pontos)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: V=5\\ \mathrm{m^{3}}\quad\text{(volume do tanque, rígido e fechado)}í
P_{1}=3\\ \mathrm{bar}
T_{1}=200^{\circ}\mathrm{C}
T_{2}=50^{\circ}\mathrm{C}\quad\text{(temperatura final após resfriamento)}ó
  • O tanque é rígido e fechado, portanto o volume total V e a massa total m permanecem constantes durante o processo.
  • Pedidos:
    1. Determinar a massa de água no tanque (valor de m).
    2. Determinar a pressão ao final do processo de resfriamento (valor de P_{2}).
  • Observação para o diagrama \mathrm{T} \mathrm{v}: precisamos identificar os três pontos relevantes do processo no diagrama (ver explicação e desenho conceitual nos passos seguintes).

Passo 2

Raciocínio físico e escolha do método (passo-a-passo didático):
  • Como o tanque é rígido e fechado, a massa m é constante. É conveniente trabalhar com volume específico v definido por
    v=\frac{V}{m},
    ou equivalentemente
    m=\frac{V}{v}.
    Logo, para achar m basta conhecer o volume específico inicial v_{1}.
  • Primeiro vamos identificar a fase inicial para saber como obter v_{1}.
    • A pressão inicial é P_{1}=3\\ \mathrm{bar}=300\\ \mathrm{kPa}.
    • A temperatura de saturação à pressão 300\\ \mathrm{kPa} é T_{\text{sat}}\approx133{,}5^{\circ}\mathrm{C} (valor tomado de tabela de água). Como T_{1}=200^{\circ}\mathrm{C}>133{,}5^{\circ}\mathrm{C}, a água está em vapor superaquecido no estado inicial.
  • Para obter v_{1} de vapor superaquecido o método mais preciso é a tabela de vapor superaquecido à pressão dada. Se a tabela não estiver disponível, uma aproximação muito usada (e razoável aqui) é tratar o vapor superaquecido como gás ideal. Pelo enunciado não temos tabelas anexas, então usarei a aproximação do gás ideal (método simples e aceitável para vapor superaquecido moderado), expondo todo o raciocínio para você aplicar na prova.
  • Fórmula do gás ideal (usada para vapor superaquecido quando aplicável):
    v=\frac{R\,T}{P},
    onde
    • v é o volume específico \mathrm{(m^{3}/kg)},
    • R é a constante específica do vapor d'água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}. Como 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^{3}}, podemos usar R=0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^{3}/(kg\;K)},
    • T é a temperatura absoluta em kelvin \mathrm{(K)},
    • P é a pressão em \mathrm{kPa}.
  • Vamos aplicar essa fórmula ao estado 1 para obter v_{1}.

Passo 3

Cálculo de v_{1} usando gás ideal (detalhado):
  • Converter temperatura para kelvin: T_{1}=200^{\circ}\mathrm{C}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão para \mathrm{kPa}: P_{1}=3\\ \mathrm{bar}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • Aplicar a equação dos gases ideais: v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{P_{1}}=\frac{0{,}4615\cdot 473{,}15}{300}.Agora calculamos passo a passo: 0{,}4615\cdot 473{,}15 \approx 218{,}358725
v_{1}\approx\frac{218{,}358725}{300}\approx 0{,}727862\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 4

Cálculo da massa m:
  • Usando m=V/v_{1}: m=\frac{5\\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}727862\\ \mathrm{m^{3}/kg}}\approx 6{,}872\\ \mathrm{kg}.
  • Interpretação: a massa de água no tanque é cerca de 6{,}87\\ \mathrm{kg}. (Se você usar tabelas de vapor superaquecido, o resultado será muito próximo; a ideia é que a massa é obtida dividindo o volume do tanque pelo volume específico inicial.)

Passo 5

Determinação da pressão final P_{2} e estado final:
  • O tanque é rígido, então o volume específico do fluido permanece v_{2}=v_{1}=0{,}727862\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • A temperatura final é T_{2}=50^{\circ}\mathrm{C}. A pressão de saturação à temperatura 50^{\circ}\mathrm{C} (valor de tabela de propriedades da água) é P_{\text{sat}}(50^{\circ}\mathrm{C})\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}=0{,}1235\\ \mathrm{bar}.
  • Agora comparar v_{2} com os volumes específicos de saturado a 50^{\circ}\mathrm{C}: v_{f}(50^{\circ}\mathrm{C})\approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^{3}/kg},
v_{g}(50^{\circ}\mathrm{C})\approx 12{,}03\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Esses valores (taken de tabela de água) mostram que
v_{f}\ll v_{2}\ll v_{g},
ou seja, o volume específico constante v_{2} está entre v_{f} e v_{g} na isoterma de 50^{\circ}\mathrm{C} — portanto o fluido final está em região bifásica (mistura líquido–vapor) a 50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Em um sistema em equilíbrio que está em região bifásica, a pressão é a pressão de saturação correspondente à temperatura; logo P_{2}=P_{\text{sat}}(50^{\circ}\mathrm{C})\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}=0{,}1235\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

(Cálculo extra útil na prova) Fração mássica de vapor (qualidade) no estado final — como verificar numericamente que está em mistura:
  • Fórmula da qualidade x (fração mássica de vapor): v_{2}=v_{f}+x\,(v_{g}-v_{f})\quad\Rightarrow\quad x=\frac{v_{2}-v_{f}}{v_{g}-v_{f}}.
  • Substituindo números: x=\frac{0{,}727862-0{,}001012}{12{,}03-0{,}001012}\approx\frac{0{,}726850}{12{,}028988}\approx 0{,}0604.Isso significa cerca de 6{,}04\% (em massa) de vapor e 93{,}96\% de líquido no estado final — ou seja, houve condensação significativa do vapor inicial, restando uma pequena fração de vapor.

Passo 7

Representação conceitual no diagrama \mathrm{T} \mathrm{v} (explicação para desenhar na prova)
  • Desenhe o diagrama \mathrm{T} no eixo vertical e v no eixo horizontal. Trace a curva da região de saturação (a “cúpula” ou “casco” das fases).
  • Marque o ponto 1: T_{1}=200^{\circ}\mathrm{C} e v_{1}=0{,}727862\\ \mathrm{m^{3}/kg}. Esse ponto fica à direita da cúpula (região de vapor superaquecido).
  • Marque os pontos de saturado a 50^{\circ}\mathrm{C}:
    • ponto 3: v_{f}(50^{\circ}\mathrm{C}) (saturado líquido) bem à esquerda dentro da base da cúpula,
    • ponto 2: v_{g}(50^{\circ}\mathrm{C}) (saturado vapor) à direita da cúpula.
  • O estado final está na isoterma T=50^{\circ}\mathrm{C} e em v=v_{2}=v_{1}. No diagrama, este ponto final ficará sobre a linha horizontal em T=50^{\circ}\mathrm{C} e com abscissa v_{2}. Como v_{f}<v_{2}<v_{g}, o ponto final fica dentro da região da cúpula, entre os pontos 3 (saturado líquido) e 2 (saturado vapor) — isto indica mistura líquido–vapor.
  • Resumindo os três pontos a marcar: 1 (inicial, superaquecido a 200^{\circ}\mathrm{C} e v_{1}), 2 (saturado vapor a 50^{\circ}\mathrm{C}, v_{g}), 3 (saturado líquido a 50^{\circ}\mathrm{C}, v_{f}). O ponto final real está entre 3 e 2 na isoterma 50^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

m\approx 6{,}87\\ \mathrm{kg}
P_{2}\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}=0{,}1235\\ \mathrm{bar}

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