Determine se a função f(z)=z^2+barz é analítica em algum ponto do plano complexo. Não é analítica em nenhum ponto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(z) = z^2 + barz
é analítica em algum ponto do plano complexo. Para isso, vamos usar o critério de Cauchy–Riemann: se escrevemos z = x + i y e f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), então, para f ser diferenciável (e portanto analítica) em um ponto, as equações de Cauchy–Riemann devem valer nesse ponto e as derivadas parciais devem ser contínuas.

Passo 2

Escrevemos z = x + i,y. Então
z^2 = (x + i,y)^2 = x^2 - y^2 + 2,i,x,y
e
barz = x - i,y
Logo,
f(z) = u(x,y) + i,v(x,y)
com
u(x,y) = x^2 - y^2 + x,
v(x,y) = 2,x,y - y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux = partialpartial x(x^2 - y^2 + x) = 2x + 1,
uy = partialpartial y(x^2 - y^2 + x) = -2y,
vx = partialpartial x(2xy - y) = 2y,
vy = partialpartial y(2xy - y) = 2x - 1

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann são
ux = vy e uy = -,vx
Substituindo,
2x + 1 stackrel?= 2x - 1,
-2y stackrel?= -,2y
A segunda equação é sempre satisfeita, mas a primeira exige
2x + 1 = 2x - 1 Longrightarrow 1 = -1,
que é impossível para qualquer x. Logo, não há ponto em que as equações de Cauchy–Riemann se cumpram simultaneamente.

Passo 5

Como não existe ponto em que ambas as equações de Cauchy–Riemann sejam verificadas, concluímos que f não é diferenciável em nenhum ponto do plano. Portanto, f não é analítica em nenhum ponto.

Resposta

A função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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