Determine se a função
é analítica em algum ponto do plano complexo. Não é analítica em nenhum ponto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é analítica em algum ponto do plano complexo. Para isso, vamos usar o critério de Cauchy–Riemann: se escrevemos
e
, então, para
ser diferenciável (e portanto analítica) em um ponto, as equações de Cauchy–Riemann devem valer nesse ponto e as derivadas parciais devem ser contínuas.
Passo 2
Escrevemos
. Então
e
Logo,
com
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann são
Substituindo,
A segunda equação é sempre satisfeita, mas a primeira exige
que é impossível para qualquer
. Logo, não há ponto em que as equações de Cauchy–Riemann se cumpram simultaneamente.
Passo 5
Como não existe ponto em que ambas as equações de Cauchy–Riemann sejam verificadas, concluímos que
não é diferenciável em nenhum ponto do plano. Portanto,
não é analítica em nenhum ponto.
Resposta
A função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.