Verifique se f(z)=e^z^2 é analítica em C usando as equações de Cauchy-Riemann. Sim, é analítica em C.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
f(z)=e^z^2
é analítica em C usando as equações de Cauchy–Riemann.
Para isso vamos escrever z=x+iy, decompor f em suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y), calcular as derivadas parciais e checar
ux = vy e uy = -,vx
além de observar que essas derivadas são contínuas em todo R^2.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy temos
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2,i,x y
e portanto
f(z)=e^z^2 = e^,x^2 - y^2;e^,i,2xy = e^,x^2 - y^2l(cos(2xy)+isin(2xy)r)
Dessa forma
u(x,y)=e^,x^2 - y^2cos(2xy), v(x,y)=e^,x^2 - y^2sin(2xy)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v e verificar as equações de Cauchy–Riemann.
ux = partialpartial xl(e^x^2 - y^2cos(2xy)r) = e^x^2 - y^2l(2xcos(2xy)-2ysin(2xy)r),
vy = partialpartial yl(e^x^2 - y^2sin(2xy)r) = e^x^2 - y^2l(-2ysin(2xy)+2xcos(2xy)r) = ux
uy = partialpartial yl(e^x^2 - y^2cos(2xy)r) = e^x^2 - y^2l(-2ycos(2xy)-2xsin(2xy)r),
vx = partialpartial xl(e^x^2 - y^2sin(2xy)r) = e^x^2 - y^2l(2xsin(2xy)+2ycos(2xy)r),
então
-,vx = e^x^2 - y^2l(-2xsin(2xy)-2ycos(2xy)r) = uy
Como ux=vy e uy=-vx e todas as derivadas são combinações de exponenciais e funções trigonométricas (que são contínuas em todo R^2), concluímos que f satisfaz as equações de Cauchy–Riemann com derivadas parciais contínuas em todo C.

Passo 4

Pela validade global das equações de Cauchy–Riemann e pela continuidade das derivadas parciais, f(z)=e^z^2 é holomorfa (ou seja, analítica) em todo o plano complexo C.

Resposta

Sim, f(z)=e^z^2 é analítica em C.

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