Verifique se
é analítica em
usando as equações de Cauchy-Riemann. Sim, é analítica em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é analítica em usando as equações de Cauchy–Riemann.
Para isso vamos escrever , decompor
em suas partes real
e imaginária
, calcular as derivadas parciais e checar
é analítica em
Para isso vamos escrever
além de observar que essas derivadas são contínuas em todo
.
Passo 2
Escrevendo
temos
e portanto
Dessa forma
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
e verificar as equações de Cauchy–Riemann.
então
Como
e
e todas as derivadas são combinações de exponenciais e funções trigonométricas (que são contínuas em todo
), concluímos que
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann com derivadas parciais contínuas em todo
.
Passo 4
Pela validade global das equações de Cauchy–Riemann e pela continuidade das derivadas parciais,
é holomorfa (ou seja, analítica) em todo o plano complexo
.
Resposta
Sim,
é analítica em
.