Determine a região onde f(z)=1z-1 é analítica. z neq 1, ou seja, C backslash1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a região do plano complexo onde a função
f(z)=1z-1
é analítica. O conteúdo envolvido é o estudo de funções holomorfas (analíticas) e seus singularidades. Vamos usar o fato de que quocientes de funções holomorfas são holomorfos sempre que o denominador não se anula.

Passo 2

A função
g(z)=z-1
é inteira (holomorfa em todo C) e só se anula em z=1. Como
f(z)=1g(z),
pela propriedade de que o inverso de uma função holomorfa é holomorfo onde o denominador não zera, concluímos que f é analítica em todo ponto em que g(z)neq0.

Passo 3

O único ponto em que g(z)=0 é z=1. Logo, f possui uma única singularidade isolada em z=1, e é analítica em todo os demais pontos do plano complexo.

Resposta

A função f(z)=1z-1 é analítica em
Csetminus1

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