Mostre que 
  é uma função harmônica e encontre sua parte imaginária 
  tal que 
  seja analítica. 
 , 
 .
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para mostrar que ela é harmônica (isto é, 
 ) e encontrar uma função 
  tal que
seja analítica. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar a harmonicidade e as equações de Cauchy–Riemann para achar 
 .
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem para verificar a harmonicidade:
Logo,
portanto 
  é harmônica.
Passo 3
Para que 
  seja analítica, 
  e 
  devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:
Já temos
Então
Passo 4
Integramos a equação 
  em relação a 
 :
onde 
  é função arbitrária de 
 . Agora derivamos esse 
  em relação a 
 :
Para coincidir com 
 , precisamos de 
 , isto é, 
  (constante real).
Passo 5
Portanto a parte imaginária conjugada é
Isso torna