Mostre que u(x, y)=x^3-3 x y^2 é uma função harmônica e encontre sua parte imaginária v(x, y) tal que f(z)=u+i v seja analítica. v(x, y)=3 x^2 y-y^3+c, f(z)=z^3+i c.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
u(x,y)=x^3-3xy^2
e pede para mostrar que ela é harmônica (isto é, De<a u=0) e encontrar uma função v(x,y) tal que
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
seja analítica. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar a harmonicidade e as equações de Cauchy–Riemann para achar v.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem para verificar a harmonicidade:
ux=partialpartial x(x^3-3xy^2)=3x^2-3y^2, uxx=partialpartial x(3x^2-3y^2)=6x,
uy=partialpartial y(x^3-3xy^2)=-6xy, uyy=partialpartial y(-6xy)=-6x
Logo,
De<a u = uxx+uyy=6x-6x=0,
portanto u é harmônica.

Passo 3

Para que f=u+iv seja analítica, u e v devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy, uy = -,vx
Já temos
ux=3x^2-3y^2, uy=-6xy
Então
vy = 3x^2 - 3y^2, vx = 6xy

Passo 4

Integramos a equação vy=3x^2-3y^2 em relação a y:
v(x,y)=integral(3x^2-3y^2),dy =3x^2y - y^3 + phi(x),
onde phi(x) é função arbitrária de x. Agora derivamos esse v em relação a x:
vx = partialpartial x(3x^2y - y^3 + phi(x)) =6xy + phi'(x)
Para coincidir com vx=6xy, precisamos de phi'(x)=0, isto é, phi(x)=c (constante real).

Passo 5

Portanto a parte imaginária conjugada é
v(x,y)=3x^2y - y^3 + c
Isso torna
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) =(x^3-3xy^2)+il(3x^2y-y^3+cr) =(x+iy)^3 + i,c =z^3 + i,c

Resposta

v(x,y)=3x^2y - y^3 + c,
f(z)=z^3 + i,c.

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