Mostre que
é uma função harmônica e encontre sua parte imaginária
tal que
seja analítica.
,
.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para mostrar que ela é harmônica (isto é,
) e encontrar uma função
tal que
seja analítica. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar a harmonicidade e as equações de Cauchy–Riemann para achar
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem para verificar a harmonicidade:
Logo,
portanto
é harmônica.
Passo 3
Para que
seja analítica,
e
devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:
Já temos
Então
Passo 4
Integramos a equação
em relação a
:
onde
é função arbitrária de
. Agora derivamos esse
em relação a
:
Para coincidir com
, precisamos de
, isto é,
(constante real).
Passo 5
Portanto a parte imaginária conjugada é
Isso torna