Determine o trabalho útil (\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}) e o consumo de vapor d’água (\mathrm{kg} / \mathrm{s}) de um ciclo Rankine simples ideal que opera a 10 MPa e 600 C na saida Caldeira e a 10 kPa no Condensador, sabendo que a potência nominal de um gerador elétrico acoplado ao referido ciclo é de 30 MW . (2.5)

Passo 1

Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pressão na saída da caldeira (pressão do vapor na turbina): p_1 = 10\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura na saída da caldeira: T_1 = 600\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão no condensador: p_2 = 10\\ \mathrm{kPa}.
  • Potência elétrica nominal do gerador acoplado ao ciclo: \dot{W}_{\text{el}} = 30\\ \mathrm{MW} = 30{,}000\\ \mathrm{kJ/s}.
O que o enunciado pede:
  1. Trabalho útil específico do ciclo (isto é, trabalho líquido por unidade de massa): em \mathrm{kJ/kg}.
  2. Consumo de vapor d’água (vazão mássica de vapor) necessário para gerar 30\\ \mathrm{MW}: em \mathrm{kg/s}.
Observação: o enunciado diz que o ciclo é um Rankine simples ideal — vou usar as hipóteses padrão: turbina e bomba ideais (expansão e compressão isentrópicas), não há perdas nem aquecimento/regeneração. Vou calcular o trabalho por unidade de massa como
w_{\text{líquido}} = h_1 - h_2 - w_{\text{bomba}},í
onde h_1 é a entalpia na entrada da turbina (saída da caldeira), h_2 é a entalpia na saída da turbina (à pressão do condensador) e w_{\text{bomba}} é o trabalho específico da bomba (aproximado por v_f (p_1-p_2)).

Passo 2

Definir os estados do ciclo e as hipóteses detalhadamente:
  • Estado 1: saída da caldeira / entrada da turbina — vapor superaquecido a p_1=10\\ \mathrm{MPa} e T_1=600\\ ^\circ\mathrm{C}. Propriedades: h_1, s_1.
  • Estado 2: saída da turbina / entrada do condensador — pressão p_2=10\\ \mathrm{kPa}. Para turbina ideal isentrópica: s_2 = s_1. Com p_2 conhecido e s_2 igual a s_1, determina-se a qualidade x_2 (se houver mistura) e a entalpia h_2.
  • Estado 3 (no condensador): saída do condensador é líquido saturado a p_2; suas propriedades saturadas ( h_f, s_f, v_f) serão usadas para o cálculo do trabalho da bomba.
  • Bomba: compressão isentrópica do líquido saturado de p_2 até p_1; trabalho aproximado por w_{\text{bomba}} \approx v_f (p_1-p_2) (energia por unidade de massa).
Vou buscar valores numéricos das propriedades de água/vapor nas tabelas de vapor para as condições dadas e declarar explicitamente os números que peguei das tabelas.

Passo 3

Propriedades no ponto 1 (peguei estes valores da tabela de vapor para vapor superaquecido a 10\\ \mathrm{MPa} e 600\\ ^\circ\mathrm{C}):
  • Entalpia: h_1 = 3583{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entropia: s_1 = 6{,}592\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Obs.: valores retirados de tabela padrão de vapor; pequenas variações entre tabelas são possíveis, mas esses são os usados aqui.)

Passo 4

Propriedades no condensador (peguei estes valores das tabelas de saturação a p_2=10\\ \mathrm{kPa}):
  • Temperatura de saturação: T_{\text{sat}}(p_2)=45{,}81\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Entalpia do líquido saturado: h_f(p_2)=191{,}81\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entropia do líquido saturado: s_f(p_2)=0{,}6493\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entropia do vapor saturado: s_g(p_2)=8{,}1503\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entalpia do vapor saturado: h_g(p_2)=2583{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Latente (vaporização): h_{fg}(p_2)=h_g-h_f=2583{,}9-191{,}81=2392{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Volume específico do líquido saturado (aproximado): v_f(p_2)=0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 5

Determinar a condição na saída da turbina (estado 2) usando isentropia:
  • Para turbina ideal: s_2 = s_1 = 6{,}592\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Verificar se isto corresponde a mistura na pressão p_2: como s_f(p_2)=0{,}6493 e s_g(p_2)=8{,}1503, temos s_f < s_2 < s_g, logo o vapor na saída da turbina será uma mistura líquido-vapor (determinamos a qualidade x_2).
    Calcular a qualidade x_2:
x_2 = \frac{s_2 - s_f(p_2)}{s_g(p_2) - s_f(p_2)} = \frac{6{,}592 - 0{,}6493}{8{,}1503 - 0{,}6493} = \frac{5{,}9427}{7{,}5010} \approx 0{,}7924.
Agora a entalpia na saída da turbina:
h_2 = h_f(p_2) + x_2\; h_{fg}(p_2) = 191{,}81 + 0{,}7924\cdot 2392{,}09.
Calcular:
0{,}7924\cdot 2392{,}09 \approx 1896{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
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h_2 \approx 191{,}81 + 1896{,}0 = 2087{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Trabalho específico do fluido atravessando a turbina (energia extraída por kg de vapor):
w_{\text{turbina}} = h_1 - h_2 = 3583{,}1 - 2087{,}8 = 1495{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Trabalho específico da bomba (aproximação usando líquido incompressível):
Usa-se w_{\text{bomba}} \approx v_f (p_1 - p_2) com v_f em \mathrm{m^3/kg} e pressões em \mathrm{Pa} para obter J/kg, depois converte para kJ/kg.
  • Converter pressões: p_1 = 10\\ \mathrm{MPa} = 10{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa}. p_2 = 10\\ \mathrm{kPa} = 10{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p = p_1 - p_2 = 10{,}000{,}000 - 10{,}000 = 9{,}990{,}000\\ \mathrm{Pa} = 9{,}99\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    Calcular:
w_{\text{bomba}} \approx v_f \Delta p = 0{,}00101\cdot 9{,}99\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} = 10{,}089\\ \mathrm{J/kg} \approx 10{,}089\\ \mathrm{kJ/kg}\times 10^{-3}.
Convertendo para kJ/kg:
w_{\text{bomba}} \approx 10{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Observação: o trabalho da bomba é pequeno comparado ao da turbina.)

Passo 8

Trabalho líquido específico útil do ciclo (trabalho por kg de vapor que vira potência elétrica):
w_{\text{líquido}} = w_{\text{turbina}} - w_{\text{bomba}} = 1495{,}3 - 10{,}09 = 1485{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.í
Explicando de forma direta: cada kg de vapor produz aproximadamente 1485{,}2\\ \mathrm{kJ} de trabalho líquido útil no ciclo ideal.

Passo 9

Cálculo da vazão mássica de vapor necessária para gerar 30\\ \mathrm{MW}:
  • Potência elétrica: \dot{W}_{\text{el}} = 30{,}000\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Se cada kg de vapor fornece w_{\text{líquido}}í kJ, então a vazão necessária é
\dot{m} = \frac{\dot{W}_{\text{el}}}{w_{\text{líquido}}} = \frac{30{,}000\\ \mathrm{kJ/s}}{1485{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 20{,}20\\ \mathrm{kg/s}.í

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida:
  • O valor do trabalho líquido por kg (~ 1{,}485\\ \mathrm{kJ/kg}) está coerente com ciclos Rankine com alta pressão de caldeira e temperatura moderadamente alta.
  • A vazão ~ 20{,}2\\ \mathrm{kg/s} equivale a cerca de 72{,}7\\ \mathrm{t/h} (só para referência: 20{,}20\cdot3600\approx72{,}720\\ \mathrm{kg/h}). Isso dá uma ideia prática do tamanho do gerador/caldeira.

Resposta

1485{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}
20{,}20\\ \mathrm{kg/s}

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