Gases da Combustâo entram em um bocal de uma turbina a jato a 260 \mathrm{kPa}, 747^{\circ} \mathrm{C} e 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. descarregando a 85 kPa . Determine a temperatura de saida \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) se a velocidade de saída é de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere os gases como ar. (2.5)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos do texto):
  • Entrada (ponto 1): P_1 = 260\\ \mathrm{kPa}, T_1 = 747^\circ\mathrm{C}, V_1 = 80\\ \mathrm{m/s}.
  • Saída (ponto 2): P_2 = 85\\ \mathrm{kPa}, V_2 = 300\\ \mathrm{m/s}.
  • Os gases são considerados como ar (gás ideal aproximado).
    O que se pede:
  • Determinar a temperatura de saída em ^{\circ}\mathrm{C}, ou seja T_2 em graus Celsius.

Passo 2

Princípio físico que vou usar (explicado devagarinho):
  • Para um escoamento estacionário, sem trocas de calor externas significativas e sem trabalho de eixo, a energia específica total por unidade de massa (entalpia mais energia cinética) se conserva entre entrada e saída do bocal. Em linguagem simples: a energia interna associada à temperatura pode se transformar em energia cinética (velocidade) e vice-versa.
  • A equação de conservação de energia aqui é
h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (J/kg) e V é a velocidade (m/s).
  • Para ar tratado como gás ideal com capacidade calorífica constante, a entalpia específica é aproximada por
h = c_p\,T,
onde c_p é a capacidade calorífica a pressão constante (em J/(kg·K)) e T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Vamos desprezar energia potencial (diferenças de altura) e trocas de calor/ trabalho com o ambiente (pressupondo um bocal adiabático sem eixo). Essas são hipóteses padrão para um nozzle simplificado.

Passo 3

Valores numéricos necessários e conversões:
  • Converter a temperatura de entrada para kelvin:
T_1 = 747^\circ\mathrm{C} = 747 + 273,15 = 1020,15\\ \mathrm{K}.
  • Usarei c_p do ar aproximado e constante na faixa considerada:
c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(esse valor é típico para ar seco; a variação de c_p com a temperatura nesta faixa não muda muito o resultado, então a aproximação é razoável)

Passo 4

Isolando T_2 a partir da equação de energia:
  • Substituindo h = c_p T na equação de energia:
c_p T_1 + \frac{V_1^2}{2} = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2}.
  • Daí
T_2 = T_1 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2\,c_p}.
Esta fórmula diz literalmente: a temperatura muda de acordo com a diferença das energias cinéticas por unidade de massa dividida por c_p.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
  • Primeiro calcule V_1^2 - V_2^2:
V_1^2 - V_2^2 = 80^2 - 300^2 = 6400 - 90000 = -83600\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Calcule 2 c_p:
2\,c_p = 2 \times 1005 = 2010\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Assim a variação de temperatura (em kelvin) é
\Delta T = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 c_p} = \frac{-83600}{2010} \approx -41,59\\ \mathrm{K}.
  • Logo
T_2 = T_1 + \Delta T = 1020,15 - 41,59 = 978,56\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius:
T_2(^{\circ}\mathrm{C}) = 978,56 - 273,15 = 705,41^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Observações finais (ótimo que perguntou — calma, dá pra entender):
  • O resultado indica que, ao acelerar o fluxo de 80 para 300\\ \mathrm{m/s}, parte da energia térmica se converteu em energia cinética e a temperatura caiu cerca de 41,6\\ \mathrm{K}, terminando em aproximadamente 705^\circ\mathrm{C}.
  • As hipóteses principais foram: escoamento adiabático sem trabalho, entalpia aproximada por c_p T com c_p constante. Para maior precisão poderia usar c_p(T) variável ou considerar irreversibilidades, mas para uma prova essa abordagem é a esperada e suficiente.

Resposta

705,4^\circ\mathrm{C}

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