Determine as três equações de estado para um sistema com a equação fundamental
U=\left(\frac{v_{0} \theta}{R^{2}}\right) \frac{S^{3}}{N V}
Confirme que as equações de estado são homogêneas de ordem zero (isto é, T, P, e \mu são parâmetros intensivos).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação fundamental de energia interna
U = \Bigl(\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\Bigr)\,\frac{S^{3}}{N\,V}
e pede as três equações de estado
T = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr)_{V,N},\quad P = -\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{S,N},\quad \mu = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial N}\Bigr)_{S,V},
além de mostrar que T, P e \mu são homogêneas de ordem zero (isto é, dependem apenas das razões entre S, V e N, não do seu valor absoluto).

Passo 2

Para simplificar, definimos a constante
A = \frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}},
de modo que
U = A\,\frac{S^{3}}{N\,V}.

Passo 3

Calculamos a temperatura
T = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr)_{V,N} = A\,\frac{\partial}{\partial S}\Bigl(S^{3}\,N^{-1}V^{-1}\Bigr) = 3\,A\,\frac{S^{2}}{N\,V}.

Passo 4

Calculamos a pressão
\frac{\partial U}{\partial V} = A\,S^{3}\,\frac{\partial}{\partial V}\bigl(N^{-1}V^{-1}\bigr) = -\,A\,\frac{S^{3}}{N\,V^{2}},
portanto
P = -\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{S,N} = A\,\frac{S^{3}}{N\,V^{2}}.

Passo 5

Calculamos o potencial químico
\frac{\partial U}{\partial N} = A\,S^{3}\,\frac{\partial}{\partial N}\bigl(N^{-1}V^{-1}\bigr) = -\,A\,\frac{S^{3}}{N^{2}\,V},
ou seja
\mu = -\,A\,\frac{S^{3}}{N^{2}\,V}.

Passo 6

Verificamos a homogeneidade de ordem zero: se trocarmos
(S,V,N)\to(\lambda S,\;\lambda V,\;\lambda N),
então
  • T\propto (\lambda S)^{2}/(\lambda N\,\lambda V)=\lambda^{2}/\lambda^{2}=1,
  • P\propto (\lambda S)^{3}/(\lambda N\,(\lambda V)^{2})=\lambda^{3}/\lambda^{3}=1,
  • \mu\propto (\lambda S)^{3}/((\lambda N)^{2}\,\lambda V)=\lambda^{3}/\lambda^{3}=1.
Logo T, P e \mu não mudam com \lambda, ou seja, são intensivos.

Resposta

T = 3 \displaystyle\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}} \frac{S^{2}}{N\,V}
P = \displaystyle\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}} \frac{S^{3}}{N\,V^{2}}
μ = − \displaystyle\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}} \frac{S^{3}}{N^{2}\,V}
E todas são homogêneas de ordem zero, ou seja, intensivas.

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