Determine o valor da velocidade de queda de uma partícula de massa especifica igual a
, diâmetro de 120 micra (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula) e esfericidade
um elutriador que opera com a velocidade ascendente de líquido igual a
. O líquido apresenta viscosidade dinâmica igual a
e massa específica igual a
. Considere o sistema com uma concentração volumétrica de partículas igual a 10% para o cálculo da velocidade terminal. Despreze o efeito das paredes do tubo.
R.
.
R.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados numéricos:
- massa específica da partícula:
. - massa específica do líquido:
. - diâmetro da esfera de mesmo volume:
. - esfericidade:
. - viscosidade dinâmica do líquido:
. - velocidade ascendente do líquido no elutriador:
. - concentração volumétrica de partículas (fração volumétrica sólida):
. - aceleração da gravidade (usarei unidades cgs):
.
- massa específica da partícula:
-
O que o enunciado pede:
- determinar a velocidade de queda da partícula (velocidade terminal observada no elutriador), considerando a concentração
e desprezando efeito das paredes.
- determinar a velocidade de queda da partícula (velocidade terminal observada no elutriador), considerando a concentração
Passo 2
Estratégia física e equação de balanço de forças (no passo explico a teoria necessária).
- Física básica: na velocidade terminal em escoamento uniforme a força peso efetiva (peso reduzido pela flutuabilidade) é equilibrada pela resistência do fluido (força de arrasto).
- Volume e área projetada da partícula (esfera equivalente):
- Balanço de forças (módulos), escrevendo a igualdade entre peso aparente e arrasto:
onde é a velocidade terminal em fluido quiescente (relativa ao fluido) e é o coeficiente de arrasto (depende de Reynolds). - Simplificando a equação acima (cancelando
): Explicando variáveis: -
: velocidade terminal relativa ao fluido (cm/s). -
: diâmetro equivalente (cm). -
: densidades da partícula e do fluido (g/cm^3). -
: gravidade (cm/s^2). -
: coeficiente de arrasto adimensional (função de número de Reynolds).
-
- Número de Reynolds da partícula:
Observação: depende de e da forma (esfericidade). Para partículas não esféricas usamos uma correção empírica para .
Passo 3
Escolha da correlação para
(explico o porquê) e parâmetros para partícula não-esférica.
- Para partículas não esféricas é comum usar a correlação de Haider & Levenspiel (1989), que dá um
válido em ampla faixa de e incorpora a esfericidade . A forma é: com os parâmetros dependentes de : - Justificativa: essa correlação é prática e projetada para partículas de formas arbitrárias, e é apropriada para o nosso regime de
(algumas unidades).
Agora calculo
usando
.]
Passo 4
Cálculo numérico dos parâmetros da correlação de Haider & Levenspiel.
- Calcule
e : - Parâmetros:
]
Passo 5
Resolver numericamente
por iteração (porque
depende de
que depende de
).
-
Procedimento: chute inicial de
(usar a estimativa de Stokes) e iterar: - com
calcule , - calcule
pela fórmula de Haider & Levenspiel, - calcule novo
por , - repetir até convergência.
- com
-
Chute inicial (Stokes):Isso dá um
inicial em torno de — então não estamos no regime puramente de Stokes, por isso a iteração é necessária. -
Iterações (mostro duas iterações e o resultado final aproximado):Iteração 1 (chute
): Calculecom a fórmula: NovoIteração 2 (usar): Calculede novo e atualize . Repetindo algumas vezes (suficiente para convergir) chega-se a: (Detalhe: usando as iterações a convergência ficou em– .) -
Interpretação:
é a velocidade terminal de uma partícula isolada (em fluido em repouso), já incluindo a correção de forma via esfericidade.
Passo 6
Correção por concentração (assunto didático: assentamento impedido — “hindered settling”).
-
Quando existem muitas partículas a velocidade de queda diminui devido ao efeito hidrodinâmico mútuo; a correção empírica clássica é a relação de Richardson–Zaki:onde:
-
é a velocidade terminal aparente em leito com concentração , -
é um expoente empírico que depende do regime hidráulico (do da partícula).
-
-
Como escolher
? Existem tabelas empíricas: para partículas com Reynolds de ordem unitária ( ) valores típicos são – . Nosso (baseado em ) é cerca de (ver iterações), portanto é adequado usar (valor comum na literatura para essa faixa). Isso é um ajuste empírico — na prova declare esse procedimento e justifique pela faixa de . -
Calculemos com
e :
Então
Passo 7
Considerar a velocidade ascendente do líquido no elutriador e obter a velocidade de queda observada.
- A velocidade
é a velocidade de assentamento relativa ao fluido (para baixo). No elutriador o fluido sobe com . A velocidade da partícula em relação ao referencial do equipamento (vertical para baixo positiva) é: Substituindo: - Interpretação: se
a partícula ainda cai para baixo mesmo com o escoamento ascendente; se fosse a partícula seria levada com o fluido.
Resposta
0,84 cm/s