Determine o valor da velocidade de queda de uma partícula de massa especifica igual a 3,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, diâmetro de 120 micra (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula) e esfericidade 0,806 \mathrm{em} um elutriador que opera com a velocidade ascendente de líquido igual a 0,25 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. O líquido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1 c P e massa específica igual a 1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Considere o sistema com uma concentração volumétrica de partículas igual a 10% para o cálculo da velocidade terminal. Despreze o efeito das paredes do tubo.
R. u_{p}=0,84 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados numéricos:
    • massa específica da partícula: \rho_p = 3{,}8\\ \mathrm{g/cm^3}.
    • massa específica do líquido: \rho_f = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}.
    • diâmetro da esfera de mesmo volume: d = 120\\ \mu\mathrm{m} = 0{,}012\\ \mathrm{cm}.
    • esfericidade: \psi = 0{,}806.
    • viscosidade dinâmica do líquido: \mu = 1\\ \mathrm{cP} = 0{,}01\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
    • velocidade ascendente do líquido no elutriador: u_{f} = 0{,}25\\ \mathrm{cm/s}.
    • concentração volumétrica de partículas (fração volumétrica sólida): \varphi = 0{,}10.
    • aceleração da gravidade (usarei unidades cgs): g = 981\\ \mathrm{cm/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    • determinar a velocidade de queda da partícula (velocidade terminal observada no elutriador), considerando a concentração \varphi = 0{,}10 e desprezando efeito das paredes.

Passo 2

Estratégia física e equação de balanço de forças (no passo explico a teoria necessária).
  • Física básica: na velocidade terminal em escoamento uniforme a força peso efetiva (peso reduzido pela flutuabilidade) é equilibrada pela resistência do fluido (força de arrasto).
  • Volume e área projetada da partícula (esfera equivalente): V_p = \frac{\pi}{6} d^3,\qquad A_p = \frac{\pi}{4} d^2.
  • Balanço de forças (módulos), escrevendo a igualdade entre peso aparente e arrasto: (\rho_p-\rho_f)\,V_p\,g \;=\; \tfrac{1}{2}\,C_D\,\rho_f\,A_p\,V_t^2,onde V_t é a velocidade terminal em fluido quiescente (relativa ao fluido) e C_D é o coeficiente de arrasto (depende de Reynolds).
  • Simplificando a equação acima (cancelando \pi d^2): V_t \;=\; \sqrt{\dfrac{4\,d\,(\rho_p-\rho_f)\,g}{3\,C_D\,\rho_f}}.Explicando variáveis:
    • V_t: velocidade terminal relativa ao fluido (cm/s).
    • d: diâmetro equivalente (cm).
    • \rho_p,\rho_f: densidades da partícula e do fluido (g/cm^3).
    • g: gravidade (cm/s^2).
    • C_D: coeficiente de arrasto adimensional (função de número de Reynolds).
  • Número de Reynolds da partícula: \mathrm{Re} \;=\; \dfrac{\rho_f\,V_t\,d}{\mu}.Observação: C_D depende de \mathrm{Re} e da forma (esfericidade). Para partículas não esféricas usamos uma correção empírica para C_D.

Passo 3

Escolha da correlação para C_D (explico o porquê) e parâmetros para partícula não-esférica.
  • Para partículas não esféricas é comum usar a correlação de Haider & Levenspiel (1989), que dá um C_D válido em ampla faixa de \mathrm{Re} e incorpora a esfericidade \psi. A forma é: C_D \;=\; \dfrac{24}{\mathrm{Re}}\big(1 + A\,\mathrm{Re}^B\big) \;+\; \dfrac{C}{1 + D/\mathrm{Re}},com os parâmetros dependentes de \psi: \begin{aligned} A &= \exp\!\big(2{,}3288 - 6{,}4581\psi + 2{,}4486\psi^2\big),\\[4pt] B &= 0{,}0964 + 0{,}5565\psi,\\[4pt] C &= \exp\!\big(4{,}905 - 13{,}8944\psi + 18{,}4222\psi^2 - 10{,}2599\psi^3\big),\\[4pt] D &= \exp\!\big(1{,}4681 + 12{,}2584\psi - 20{,}7322\psi^2 + 15{,}8855\psi^3\big). \end{aligned}
  • Justificativa: essa correlação é prática e projetada para partículas de formas arbitrárias, e é apropriada para o nosso regime de \mathrm{Re} (algumas unidades).
Agora calculo A,B,C,D usando \psi=0{,}806.]

Passo 4

Cálculo numérico dos parâmetros da correlação de Haider & Levenspiel.
  • Calcule \psi^2 e \psi^3: \psi^2 = 0{,}806^2 = 0{,}6497,\qquad \psi^3 = 0{,}806^3 = 0{,}5239.
  • Parâmetros: \begin{aligned} A &= \exp\big(2{,}3288 - 6{,}4581\cdot0{,}806 + 2{,}4486\cdot0{,}6497\big) \approx \exp(-1{,}289)\approx 0{,}275,\\[4pt] B &= 0{,}0964 + 0{,}5565\cdot0{,}806 \approx 0{,}5444,\\[4pt] C &= \exp\big(4{,}905 -13{,}8944\cdot0{,}806 +18{,}4222\cdot0{,}6497 -10{,}2599\cdot0{,}5239\big) \approx \exp(0{,}297)\approx 1{,}345,\\[4pt] D &= \exp\big(1{,}4681 +12{,}2584\cdot0{,}806 -20{,}7322\cdot0{,}6497 +15{,}8855\cdot0{,}5239\big) \approx \exp(6{,}205)\approx 496. \end{aligned}]

Passo 5

Resolver numericamente V_t por iteração (porque C_D depende de \mathrm{Re} que depende de V_t).
  • Procedimento: chute inicial de V_t (usar a estimativa de Stokes) e iterar:
    1. com V_t calcule \mathrm{Re} = \dfrac{\rho_f V_t d}{\mu},
    2. calcule C_D pela fórmula de Haider & Levenspiel,
    3. calcule novo V_t por \;V_t = \sqrt{\dfrac{4 d (\rho_p-\rho_f) g}{3 C_D \rho_f}},
    4. repetir até convergência.
  • Chute inicial (Stokes):
    V_{t,\text{Stokes}} = \dfrac{(\rho_p-\rho_f) g d^2}{18\mu} = \dfrac{(3{,}8-1{,}0)\cdot981\cdot(0{,}012)^2}{18\cdot0{,}01} \approx 2{,}20\\ \mathrm{cm/s}.
    Isso dá um \mathrm{Re} inicial em torno de 2{,}6 — então não estamos no regime puramente de Stokes, por isso a iteração é necessária.
  • Iterações (mostro duas iterações e o resultado final aproximado):
    Iteração 1 (chute V_t=2{,}20\\ \mathrm{cm/s}):
    \mathrm{Re}_1=\dfrac{1\cdot2{,}20\cdot0{,}012}{0{,}01}=2{,}64.
    Calcule C_D com a fórmula:
    C_D \approx \dfrac{24}{2{,}64}\big(1+0{,}275\cdot2{,}64^{0{,}5444}\big)+\dfrac{1{,}345}{1+496/2{,}64} \approx 11{,}75.
    Novo
    V_{t,2} = \sqrt{\dfrac{4\cdot0{,}012\cdot(3{,}8-1{,}0)\cdot981}{3\cdot11{,}75\cdot1}} \approx 1{,}93\\ \mathrm{cm/s}.
    Iteração 2 (usar V_t=1{,}93\\ \mathrm{cm/s}):
    \mathrm{Re}_2=\dfrac{1\cdot1{,}93\cdot0{,}012}{0{,}01}=2{,}32.
    Calcule C_D de novo e atualize V_t. Repetindo algumas vezes (suficiente para convergir) chega-se a:
    V_t \approx 1{,}59\\ \mathrm{cm/s}.
    (Detalhe: usando as iterações a convergência ficou em V_t\approx1{,}58 1{,}60\\ \mathrm{cm/s}.)
  • Interpretação: V_t\approx 1{,}59\\ \mathrm{cm/s} é a velocidade terminal de uma partícula isolada (em fluido em repouso), já incluindo a correção de forma via esfericidade.

Passo 6

Correção por concentração (assunto didático: assentamento impedido — “hindered settling”).
  • Quando existem muitas partículas a velocidade de queda diminui devido ao efeito hidrodinâmico mútuo; a correção empírica clássica é a relação de Richardson–Zaki:
    u_h \;=\; V_t\,(1-\varphi)^n,
    onde:
    • u_h é a velocidade terminal aparente em leito com concentração \varphi,
    • n é um expoente empírico que depende do regime hidráulico (do \mathrm{Re} da partícula).
  • Como escolher n? Existem tabelas empíricas: para partículas com Reynolds de ordem unitária ( 1 \lesssim \mathrm{Re} \lesssim 10) valores típicos são n\approx 3{,}6 3{,}8. Nosso \mathrm{Re} (baseado em V_t) é cerca de 1{,}9 (ver iterações), portanto é adequado usar n=3{,}6 (valor comum na literatura para essa faixa). Isso é um ajuste empírico — na prova declare esse procedimento e justifique pela faixa de \mathrm{Re}.
  • Calculemos com n=3{,}6 e \varphi=0{,}10:
    (1-\varphi) = 0{,}90,\qquad (1-\varphi)^{3{,}6} = 0{,}90^{3{,}6} = \exp\big(3{,}6\ln 0{,}90\big).
\ln 0{,}90 \approx -0{,}1053605\quad\Rightarrow\quad 3{,}6\ln0{,}90 \approx -0{,}37930,
(1-\varphi)^{3{,}6} \approx \exp(-0{,}37930)\approx 0{,}684.
Então
u_h \approx 1{,}59\cdot0{,}684 \approx 1{,}09\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 7

Considerar a velocidade ascendente do líquido no elutriador e obter a velocidade de queda observada.
  • A velocidade u_h é a velocidade de assentamento relativa ao fluido (para baixo). No elutriador o fluido sobe com u_f=0{,}25\\ \mathrm{cm/s}. A velocidade da partícula em relação ao referencial do equipamento (vertical para baixo positiva) é: u_p = u_h - u_f.Substituindo: u_p \approx 1{,}09 - 0{,}25 = 0{,}84\\ \mathrm{cm/s}.
  • Interpretação: se u_p>0 a partícula ainda cai para baixo mesmo com o escoamento ascendente; se fosse u_p\le0 a partícula seria levada com o fluido.

Resposta

0,84 cm/s

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