Em um estudo preliminar do escoamento gás-partículas, a frio, em um reator riser, utilizou-se ar como fluido de arraste com massa específica e a viscosidade cinemática, respectivamente, iguais a
e
sólido de trabalho foram partículas de catalisador FCC, que apresenta massa especifica
e diâmetro médio igual a
. Pede-se:
a) obtenha o valor da velocidade terminal da partícula esférica de catalisador FCC.
b) avalie o efeito da presença do diâmetro da tubulação do riser,
, no valor da velocidade terminal obtido no item (a).
c) avalie o efeito da concentração volumétrica de partículas, por meio das expressões de Richardson e Zaki (1954), que é igual a
, no valor da velocidade terminal obtido no item (a).
R. a)
; b)
; c)
.
a) obtenha o valor da velocidade terminal da partícula esférica de catalisador FCC.
b) avalie o efeito da presença do diâmetro da tubulação do riser,
c) avalie o efeito da concentração volumétrica de partículas, por meio das expressões de Richardson e Zaki (1954), que é igual a
R. a)
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que se pede, com todas as informações numéricas (já convertidas para o sistema SI quando necessário):
- Dados físicos do fluido (ar):
- densidade:
, - viscosidade cinemática:
.
- densidade:
- Dados do sólido (partícula esférica de catalisador FCC):
- densidade:
(conversão feita), - diâmetro médio:
.
- densidade:
- Diâmetro da tubulação do riser (para o item b):
-
.
-
- Concentração volumétrica (para o item c):
-
(adimensional).
-
O enunciado pede:
(a) obter a velocidade terminal da partícula esférica isolada (em fluido infinito);
(b) avaliar o efeito do diâmetro da tubulação no valor da velocidade terminal do item (a) (efeito de parede);
(c) avaliar o efeito da concentração volumétrica sobre a velocidade terminal, usando as expressões de Richardson e Zaki (1954).
(a) obter a velocidade terminal da partícula esférica isolada (em fluido infinito);
(b) avaliar o efeito do diâmetro da tubulação
(c) avaliar o efeito da concentração volumétrica
Observações importantes que vou usar nas contas:
- dinâmica do equilíbrio: peso aparente = força de arraste;
- para partículas de tamanho e propriedades dadas, a resistência aerodinâmica está no regime viscoso/curto-Re (Re pequeno, mas não tão pequeno para usar apenas Stokes); por isso usarei uma correlação de arrasto dependente de Reynolds (Schiller–Naumann) e iteração para convergir na velocidade terminal;
- para efeito de parede usarei a correção de ordem baixa (série em
) apropriada quando ; - para efeito de concentração usarei a correlação de Richardson–Zaki:
, onde é a velocidade terminal da partícula isolada e depende do número de Reynolds.
Passo 2
Equacionando o balanço de forças e definindo as grandezas:
-
Volume da esfera:
. -
Área de projeção:
. -
Peso aparente (força que põe a partícula a cair):
. -
Força de arraste (em regime geral):
,
ondeé o coeficiente de arrasto, função do número de Reynolds . -
Número de Reynolds para a partícula:
. -
Equilíbrio terminal:
, portanto Simplificando aobtemos a expressão útil Repare quedepende de , e depende de : há dependência implícita que exige iteração. -
Correlação escolhida para
(válida para , apropriada aqui): (Schiller–Naumann).
Vou calcular passo a passo, convertendo viscosidade dinâmica quando necessário:
Passo 3
Cálculo inicial pela fórmula de Stokes (para ter chute inicial) e primeira estimativa de
:
- Fórmula de Stokes (regime
): Substituindo números:
- A partir desse chute inicial, número de Reynolds aproximado:
Como
não é
, devemos usar Schiller–Naumann e iterar.
Passo 4
Iteração com Schiller–Naumann (mostrar 3 iterações até convergir):
Defino a constante que aparece ao calcular
:
Calculemos
numericamente:
A cada iteração:
- tomo um
(inicial via Stokes aproximado, usando ), - calculo
com a forma completa (lembrando do fator já incluido em ), - atualizo
, - recomputar
via Schiller–Naumann e repetir até convergência.
Iteração 1 (chute
,
):
Iteração 2:
Iteração 3:
-
recalculado com dá -
-
Mais uma iteração produz um valor muito próximo de
quando a convergência é levada à precisão prática (arredondamentos e escolhas da correlação dão pequenas diferenças). Em unidades mais usuais isso é:
Comentário didático: a iteração é necessária porque
depende de
e
depende de
. A correlação Schiller–Naumann é apropriada para esta faixa de
(aprox. 1–2), fornecendo valores realistas menores que a estimativa pura de Stokes (que superestimou aqui).
Passo 5
Item (b) — efeito do diâmetro da tubulação (efeito de parede)
Quando a partícula sedimenta/assenta dentro de um tubo de diâmetro finito, a presença das paredes altera o arrasto sobre a partícula. Para partículas muito pequenas comparadas ao tubo (
), existe uma correção em série para o fator de arrasto; para o caso axial (partícula no centro do tubo) a correção de primeira ordem pode ser escrita como um fator multiplicativo
que corrige o arraste em relação ao caso de fluido infinito. Uma forma prática (série de Faxén/Brenner para fluxo de Stokes, linearizada para
) é:
onde
. Assim, a velocidade terminal corrigida pode ser aproximada por
válido para
.
Calculemos
:
Como
é muito pequeno, a aproximação de primeira ordem é sensata. Aplicando a correção:
Com
,
Interpretação prática (linguagem amigável): a parede é tão distante (o tubo é grande comparado à partícula) que o efeito é mínimo; a correção muda a velocidade terminal em frações de por cento.
Passo 6
Item (c) — efeito da concentração volumétrica de partículas usando Richardson–Zaki (1954)
A correlação de Richardson–Zaki para velocidade de queda em meios com partículas concentradas diz:
onde:
-
é a velocidade de queda da partícula isolada (obtida no item (a): ), -
é a fração volumétrica de partículas (aqui ), -
é o expoente empírico que depende do número de Reynolds da partícula livre. Existem tabelas/curvas para . Valores típicos: - para
: , - para
: , - para
: , - (e decresce mais para Re maiores).
- para
No nosso caso a partícula isolada tem
(da iteração), portanto escolhemos
(faixa
), que é a prática usual ao aplicar Richardson–Zaki.
Aplicando:
Calculemos a potência:
logo
Comentário: o efeito de concentração reduz (hindered settling) a velocidade porque as partículas obrigam o fluido a ser deslocado por um conjunto delas, aumentando o arrasto médio. Com
o efeito não é gigantesco, mas passa de
para
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)