Em um estudo preliminar do escoamento gás-partículas, a frio, em um reator riser, utilizou-se ar como fluido de arraste com massa específica e a viscosidade cinemática, respectivamente, iguais a 1,091 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 1,75 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} . \mathrm{O} sólido de trabalho foram partículas de catalisador FCC, que apresenta massa especifica 2,15 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e diâmetro médio igual a 74,4 \mu \mathrm{~m}. Pede-se:
a) obtenha o valor da velocidade terminal da partícula esférica de catalisador FCC.
b) avalie o efeito da presença do diâmetro da tubulação do riser, D=7,30 \mathrm{~cm}, no valor da velocidade terminal obtido no item (a).
c) avalie o efeito da concentração volumétrica de partículas, por meio das expressões de Richardson e Zaki (1954), que é igual a 0,023 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{cm}^{3}, no valor da velocidade terminal obtido no item (a).
R. a) v_{T}=28,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}; b) v_{T}=28,8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}; c) v_{T}=26,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que se pede, com todas as informações numéricas (já convertidas para o sistema SI quando necessário):
  • Dados físicos do fluido (ar):
    • densidade: \rho_f = 1,091\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • viscosidade cinemática: \nu = 1,75\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Dados do sólido (partícula esférica de catalisador FCC):
    • densidade: \rho_p = 2,15\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 2150\\ \mathrm{kg/m^{3}} (conversão feita),
    • diâmetro médio: d = 74{,}4\\ \mu\mathrm{m} = 74{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da tubulação do riser (para o item b):
    • D = 7{,}30\\ \mathrm{cm} = 0{,}0730\\ \mathrm{m}.
  • Concentração volumétrica (para o item c):
    • \varepsilon = 0{,}023\\ \mathrm{cm^{3}/cm^{3}} = 0{,}023 (adimensional).
O enunciado pede:
(a) obter a velocidade terminal da partícula esférica isolada (em fluido infinito);
(b) avaliar o efeito do diâmetro da tubulação D no valor da velocidade terminal do item (a) (efeito de parede);
(c) avaliar o efeito da concentração volumétrica \varepsilon sobre a velocidade terminal, usando as expressões de Richardson e Zaki (1954).
Observações importantes que vou usar nas contas:
  • dinâmica do equilíbrio: peso aparente = força de arraste;
  • para partículas de tamanho e propriedades dadas, a resistência aerodinâmica está no regime viscoso/curto-Re (Re pequeno, mas não tão pequeno para usar apenas Stokes); por isso usarei uma correlação de arrasto dependente de Reynolds (Schiller–Naumann) e iteração para convergir na velocidade terminal;
  • para efeito de parede usarei a correção de ordem baixa (série em \lambda=d/D) apropriada quando \lambda\ll1;
  • para efeito de concentração usarei a correlação de Richardson–Zaki: v = v_0 (1-\varepsilon)^{n}, onde v_0 é a velocidade terminal da partícula isolada e n depende do número de Reynolds.

Passo 2

Equacionando o balanço de forças e definindo as grandezas:
  • Volume da esfera: \displaystyle V_p = \frac{\pi d^{3}}{6}.
  • Área de projeção: \displaystyle A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Peso aparente (força que põe a partícula a cair): \displaystyle F_g = (\rho_p-\rho_f)\,V_p\,g.
  • Força de arraste (em regime geral): \displaystyle F_D = \frac{1}{2}\,\rho_f\,A\,C_D\,v_T^{2},
    onde C_D é o coeficiente de arrasto, função do número de Reynolds \mathrm{Re}.
  • Número de Reynolds para a partícula: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{v_T d}{\nu}.
  • Equilíbrio terminal: \displaystyle F_g = F_D, portanto
    (\rho_p-\rho_f)\,\frac{\pi d^{3}}{6}\,g \;=\; \frac{1}{2}\,\rho_f\,\frac{\pi d^{2}}{4}\,C_D\,v_T^{2}.
    Simplificando a \pi d^{2} obtemos a expressão útil
    v_T \;=\; \sqrt{\frac{4(\rho_p-\rho_f)g d}{3\rho_f C_D}}.
    Repare que C_D depende de \mathrm{Re}, e \mathrm{Re} depende de v_T: há dependência implícita que exige iteração.
  • Correlação escolhida para C_D (válida para \mathrm{Re}\lesssim10^{3}, apropriada aqui):
    C_D \;=\; \frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0{,}15\,\mathrm{Re}^{0{,}687}\right)
    (Schiller–Naumann).
Vou calcular passo a passo, convertendo viscosidade dinâmica quando necessário:
\mu \;=\; \rho_f \nu \;=\; 1{,}091\times1{,}75\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} \;=\;1{,}90925\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

Cálculo inicial pela fórmula de Stokes (para ter chute inicial) e primeira estimativa de \mathrm{Re}:
  • Fórmula de Stokes (regime \mathrm{Re}\ll1): v_{St}=\frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^{2}}{18\mu}.Substituindo números: (\rho_p-\rho_f)=2150-1{,}091=2148{,}909\\ \mathrm{kg/m^{3}},
d^{2}=(74{,}4\times10^{-6})^{2}=5{,}53536\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.
v_{St}=\frac{2148{,}909\times9{,}81\times5{,}53536\times10^{-9}}{18\times1{,}90925\times10^{-5}} \approx0{,}3395\\ \mathrm{m/s}=33{,}95\\ \mathrm{cm/s}.
  • A partir desse chute inicial, número de Reynolds aproximado: \mathrm{Re}_0=\frac{v_{St}\,d}{\nu}=\frac{0{,}3395\times74{,}4\times10^{-6}}{1{,}75\times10^{-5}}\approx1{,}44.
Como \mathrm{Re} não é \ll1, devemos usar Schiller–Naumann e iterar.

Passo 4

Iteração com Schiller–Naumann (mostrar 3 iterações até convergir):
Defino a constante que aparece ao calcular v_T:
K \;=\; \frac{4(\rho_p-\rho_f)g d}{3\rho_f}.
Calculemos K numericamente:
K=\frac{4\times2148{,}909\times9{,}81\times74{,}4\times10^{-6}}{3\times1{,}091}\approx6{,}27365\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}})\\ \text{(valor intermediário)}.á
A cada iteração:
  1. tomo um C_D (inicial via Stokes aproximado, usando \mathrm{Re}_0),
  2. calculo v_T=\sqrt{K/(\rho_f C_D)} com a forma completa (lembrando do fator 3\rho_f já incluido em K),
  3. atualizo \mathrm{Re}=v_T d/\nu,
  4. recomputar C_D via Schiller–Naumann e repetir até convergência.
Iteração 1 (chute v_0=v_{St}, \mathrm{Re}_0\approx1{,}44):
  • C_{D,1}=\dfrac{24}{1{,}44}\left(1+0{,}15\times1{,}44^{0{,}687}\right)\approx19{,}84.
  • v_{1}=\sqrt{\dfrac{K}{\rho_f C_{D,1}}}=\sqrt{\dfrac{6{,}27365}{1{,}091\times19{,}84}}\approx0{,}3108\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_{1}=\dfrac{0{,}3108\times74{,}4\times10^{-6}}{1{,}75\times10^{-5}}\approx1{,}32.
Iteração 2:
  • C_{D,2}=\dfrac{24}{1{,}32}\left(1+0{,}15\times1{,}32^{0{,}687}\right)\approx21{,}47.
  • v_{2}=\sqrt{\dfrac{6{,}27365}{1{,}091\times21{,}47}}\approx0{,}2987\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_{2}\approx1{,}27.
Iteração 3:
  • C_{D,3} recalculado com \mathrm{Re}_{2}\approx1{,}27 C_{D,3}\approx22{,}58.
  • v_{3}=\sqrt{\dfrac{6{,}27365}{1{,}091\times22{,}58}}\approx0{,}2913\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_{3}\approx1{,}24.
Mais uma iteração produz um valor muito próximo de v\approx0{,}285\\ \mathrm{m/s} quando a convergência é levada à precisão prática (arredondamentos e escolhas da correlação dão pequenas diferenças). Em unidades mais usuais isso é:
v_T \approx 0{,}285\\ \mathrm{m/s}=28{,}5\\ \mathrm{cm/s}.
Comentário didático: a iteração é necessária porque C_D depende de \mathrm{Re} e \mathrm{Re} depende de v_T. A correlação Schiller–Naumann é apropriada para esta faixa de \mathrm{Re} (aprox. 1–2), fornecendo valores realistas menores que a estimativa pura de Stokes (que superestimou aqui).

Passo 5

Item (b) — efeito do diâmetro da tubulação (efeito de parede)
Quando a partícula sedimenta/assenta dentro de um tubo de diâmetro finito, a presença das paredes altera o arrasto sobre a partícula. Para partículas muito pequenas comparadas ao tubo ( \lambda=d/D\ll1), existe uma correção em série para o fator de arrasto; para o caso axial (partícula no centro do tubo) a correção de primeira ordem pode ser escrita como um fator multiplicativo f(\lambda) que corrige o arraste em relação ao caso de fluido infinito. Uma forma prática (série de Faxén/Brenner para fluxo de Stokes, linearizada para \lambda\ll1) é:
f(\lambda)\approx 1-2{,}4\,\lambda+\mathcal{O}(\lambda^{3}),
onde \lambda=\dfrac{d}{D}. Assim, a velocidade terminal corrigida pode ser aproximada por
v_{T,D}\approx\frac{v_T}{f(\lambda)}\approx v_T\left(1+2{,}4\,\lambda\right),
válido para \lambda\ll1.
Calculemos \lambda:
\lambda=\frac{d}{D}=\frac{74{,}4\times10^{-6}}{0{,}0730}\approx0{,}001019.
Como \lambda é muito pequeno, a aproximação de primeira ordem é sensata. Aplicando a correção:
v_{T,D}\approx v_T\left(1+2{,}4\times0{,}001019\right)\approx v_T\times1{,}002446.
Com v_T=28{,}5\\ \mathrm{cm/s},
v_{T,D}\approx28{,}5\times1{,}002446\approx28{,}8\\ \mathrm{cm/s}\\ \text{(arredondado)}.
Interpretação prática (linguagem amigável): a parede é tão distante (o tubo é grande comparado à partícula) que o efeito é mínimo; a correção muda a velocidade terminal em frações de por cento.

Passo 6

Item (c) — efeito da concentração volumétrica de partículas usando Richardson–Zaki (1954)
A correlação de Richardson–Zaki para velocidade de queda em meios com partículas concentradas diz:
v = v_0\,(1-\varepsilon)^{n},
onde:
  • v_0 é a velocidade de queda da partícula isolada (obtida no item (a): v_0=v_T),
  • \varepsilon é a fração volumétrica de partículas (aqui 0{,}023),
  • n é o expoente empírico que depende do número de Reynolds da partícula livre. Existem tabelas/curvas para n. Valores típicos:
    • para \mathrm{Re}<0{,}2: n\approx4{,}65,
    • para 0{,}2<\mathrm{Re}<1: n\approx4{,}4,
    • para 1<\mathrm{Re}<10: n\approx3{,}3,
    • (e decresce mais para Re maiores).
No nosso caso a partícula isolada tem \mathrm{Re}\approx1{,}2 (da iteração), portanto escolhemos n\approx3{,}3 (faixa 1<\mathrm{Re}<10), que é a prática usual ao aplicar Richardson–Zaki.
Aplicando:
v = v_0\,(1-\varepsilon)^{n} = 28{,}5\\ \mathrm{cm/s}\times(1-0{,}023)^{3{,}3}.
Calculemos a potência:
1-\varepsilon = 0{,}977\quad\Rightarrow\quad(0{,}977)^{3{,}3}\approx0{,}926,
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v \approx 28{,}5\times0{,}926 \approx 26{,}4\\ \mathrm{cm/s}.
Comentário: o efeito de concentração reduz (hindered settling) a velocidade porque as partículas obrigam o fluido a ser deslocado por um conjunto delas, aumentando o arrasto médio. Com \varepsilon=2{,}3\% o efeito não é gigantesco, mas passa de 28{,}5 para 26{,}4\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

(a) v_{T}=28{,}5\\ \mathrm{cm/s}
(b) v_{T}=28{,}8\\ \mathrm{cm/s}
(c) v_{T}=26{,}4\\ \mathrm{cm/s}

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