1.13 Uma bomba de calor deve ser usada para aquecer uma casa durante o inverno. A casa deve ser mantida a 21\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) o tempo todo. Supõe- se que a casa esteja perdendo calor a uma taxa de 135.000(\mathrm{~kJ} / \mathrm{h}) quando a temperatura externa cai para -5\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determinar a potência mínima necessária para operar essa bomba de calor e comentar o resultado.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • A casa deve ser mantida a 21\left(^{\circ}\mathrm{C}\right) o tempo todo. Ou seja, temperatura interna T_H = 21\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • A temperatura externa cai para -5\left(^{\circ}\mathrm{C}\right). Ou seja, temperatura externa T_C = -5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • A taxa de perda de calor da casa (calor que a bomba precisa repor) é 135\,000\\ (\mathrm{kJ/h}). Vou chamar isso de taxa de calor fornecida ao ambiente interno \dot{Q}_H = 135\,000\\ \mathrm{kJ/h}.
  • O que é pedido: determinar a potência mínima necessária para operar a bomba de calor e comentar o resultado.

Passo 2

Entender qual é o limite físico para a potência mínima. Vou explicar o princípio que usamos.
  • Uma bomba de calor transfere calor do ambiente frio (à temperatura T_C) para o quente ( T_H) usando trabalho elétrico W. A quantidade de calor entregue ao interior é \dot{Q}_H.
  • Para uma bomba de calor reversível ideal (ciclo de Carnot), o coeficiente de desempenho máximo (COP máximo) é dado por:
\mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}.
Aqui:
  • T_H é a temperatura do reservatório quente (a casa) em kelvin,
  • T_C é a temperatura do reservatório frio (externa) em kelvin,
  • \mathrm{COP}_{\text{HP,rev}} é a razão \dot{Q}_H / \dot{W} para a bomba de calor ideal.
  • Explicando a fórmula de forma simples: quanto menor a diferença T_H-T_C, mais fácil (teoricamente) mover calor de T_C para T_H, portanto maior o COP; a temperatura deve estar em kelvin nessa fórmula porque ela vem da termodinâmica (leis da termodinâmica referem-se a temperaturas absolutas).
  • A potência mínima (taxa de trabalho mínima) necessária para fornecer \dot{Q}_H com um ciclo ideal é
\dot{W}_{\min}=\frac{\dot{Q}_H}{\mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}}.
Isto representa o limite teórico inferior — nenhuma bomba real pode gastar menos trabalho do que isso.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin e calcular o \mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}.
  • Converter:
T_H = 21\\ ^{\circ}\mathrm{C} = 21 + 273{,}15 = 294{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_C = -5\\ ^{\circ}\mathrm{C} = -5 + 273{,}15 = 268{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular a diferença:
T_H-T_C = 294{,}15 - 268{,}15 = 26{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Agora o \mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}:
\mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}=\frac{294{,}15}{26{,}00}\approx 11{,}313\ldots
Posso arredondar razoavelmente para \mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}\approx 11{,}31. Comentário rápido: esse valor é alto porque a diferença de temperatura é pequena ( 26\\ ^{\circ}\mathrm{C}), o que favorece bombas de calor.

Passo 4

Converter a taxa de calor dada para unidades de potência (kW) e aplicar a fórmula para obter a potência mínima.
  • Converter \dot{Q}_H de \mathrm{kJ/h} para \mathrm{kW}. Lembrete: 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}. Assim
\dot{Q}_H = 135\,000\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{135\,000}{3600}\\ \mathrm{kJ/s} = 37{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Agora calcular \dot{W}_{\min}:
\dot{W}_{\min}=\frac{\dot{Q}_H}{\mathrm{COP}_{\text{HP,rev}}} =\frac{37{,}5}{11{,}313\ldots}\\ \mathrm{kW}\approx 3{,}314\\ \mathrm{kW}.
  • Em unidades originais ( \mathrm{kJ/h}) isso equivale a
\dot{W}_{\min} \approx 3{,}314\\ \mathrm{kW}\times 3600\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kW\cdot h}} \approx 11\,931\\ \mathrm{kJ/h}.

Passo 5

Interpretação e comentário (empático e prático).
  • O valor calculado \dot{W}_{\min}\approx 3{,}31\\ \mathrm{kW} é o limite teórico inferior, obtido assumindo um ciclo reversível (Carnot). Na prática, bombas de calor reais têm \mathrm{COP} bem menores que o ideal — tipicamente entre \sim 2{,}5 e \sim 5 dependendo da tecnologia, do perfil de temperatura, do dimensionamento e das perdas. Portanto, a potência elétrica real necessária para manter a casa em 21\\ ^{\circ}\mathrm{C} quando fora está -5\\ ^{\circ}\mathrm{C} será maior do que 3{,}31\\ \mathrm{kW}. Por exemplo, com uma bomba com \mathrm{COP}=3 a potência elétrica seria aproximadamente 37{,}5/3\approx 12{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Comentário prático final: o resultado mostra que, teoricamente, mover calor de -5\\ ^{\circ}\mathrm{C} para 21\\ ^{\circ}\mathrm{C} é bastante eficiente (pequeno trabalho elétrico) devido à pequena diferença absoluta de temperatura, mas fatores reais (irregularidades do ciclo, perdas, eficiência do compressor, controle, tubulações, etc.) aumentam bastante a energia elétrica consumida.

Resposta

\dot{W}_{\min}\approx 3{,}31\\ \mathrm{kW} (equivalente a \approx 11\,931\\ \mathrm{kJ/h}).

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