1.13 Uma bomba de calor deve ser usada para aquecer uma casa durante o inverno. A casa deve ser mantida a
o tempo todo. Supõe- se que a casa esteja perdendo calor a uma taxa de
quando a temperatura externa cai para
. Determinar a potência mínima necessária para operar essa bomba de calor e comentar o resultado.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
- A casa deve ser mantida a
o tempo todo. Ou seja, temperatura interna . - A temperatura externa cai para
. Ou seja, temperatura externa . - A taxa de perda de calor da casa (calor que a bomba precisa repor) é
. Vou chamar isso de taxa de calor fornecida ao ambiente interno . - O que é pedido: determinar a potência mínima necessária para operar a bomba de calor e comentar o resultado.
Passo 2
Entender qual é o limite físico para a potência mínima. Vou explicar o princípio que usamos.
- Uma bomba de calor transfere calor do ambiente frio (à temperatura
) para o quente ( ) usando trabalho elétrico . A quantidade de calor entregue ao interior é . - Para uma bomba de calor reversível ideal (ciclo de Carnot), o coeficiente de desempenho máximo (COP máximo) é dado por:
Aqui:
-
é a temperatura do reservatório quente (a casa) em kelvin, -
é a temperatura do reservatório frio (externa) em kelvin, -
é a razão para a bomba de calor ideal. - Explicando a fórmula de forma simples: quanto menor a diferença
, mais fácil (teoricamente) mover calor de para , portanto maior o COP; a temperatura deve estar em kelvin nessa fórmula porque ela vem da termodinâmica (leis da termodinâmica referem-se a temperaturas absolutas). - A potência mínima (taxa de trabalho mínima) necessária para fornecer
com um ciclo ideal é
Isto representa o limite teórico inferior — nenhuma bomba real pode gastar menos trabalho do que isso.
Passo 3
Converter temperaturas para kelvin e calcular o
.
- Converter:
- Calcular a diferença:
- Agora o
:
Posso arredondar razoavelmente para
. Comentário rápido: esse valor é alto porque a diferença de temperatura é pequena (
), o que favorece bombas de calor.
Passo 4
Converter a taxa de calor dada para unidades de potência (kW) e aplicar a fórmula para obter a potência mínima.
- Converter
de para . Lembrete: e . Assim
- Agora calcular
:
- Em unidades originais (
) isso equivale a
Passo 5
Interpretação e comentário (empático e prático).
- O valor calculado
é o limite teórico inferior, obtido assumindo um ciclo reversível (Carnot). Na prática, bombas de calor reais têm bem menores que o ideal — tipicamente entre e dependendo da tecnologia, do perfil de temperatura, do dimensionamento e das perdas. Portanto, a potência elétrica real necessária para manter a casa em quando fora está será maior do que . Por exemplo, com uma bomba com a potência elétrica seria aproximadamente . - Comentário prático final: o resultado mostra que, teoricamente, mover calor de
para é bastante eficiente (pequeno trabalho elétrico) devido à pequena diferença absoluta de temperatura, mas fatores reais (irregularidades do ciclo, perdas, eficiência do compressor, controle, tubulações, etc.) aumentam bastante a energia elétrica consumida.