Determinemos a variação da entropia específica, em kJ/kg \cdot \mathrm{K}, para o ar admitido como gás ideal submetido a um processo de \mathrm{T} 1=300 \mathrm{~K}, \mathrm{p} 1=1 bar para \mathrm{T} 2=400 \mathrm{~K}, \mathrm{p} 2=5 bar. Devido ao pequeno intervalo relativo de temperatura, admitimos um valor constante de cp avaliado a 350 K . Utilizando \mathrm{cp}=1,008 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia específica do ar tratado como gás ideal, ao passar do estado 1 para o estado 2. Pergunta-se: qual é \Delta s = s_2 - s_1 em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}?
Dados fornecidos:
T_1 = 300\\ \mathrm{K},\quad p_1 = 1\\ \mathrm{bar}
T_2 = 400\\ \mathrm{K},\quad p_2 = 5\\ \mathrm{bar}
O problema diz que, devido ao pequeno intervalo relativo de temperatura, podemos admitir \mathrm{c_p} constante avaliada em 350\\ \mathrm{K}, com valor
c_p = 1,008\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Também precisaremos da constante dos gases específicos do ar; usarei o valor aproximado padrão
R = 0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
O que se pede: calcular numericamente \Delta s (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) entre os dois estados.

Passo 2

Vamos lembrar (e demonstrar rapidamente) a fórmula que usaremos. Para um gás ideal, a diferencial da entropia específica s pode ser escrita em termos de T e p como
\mathrm{d}s = c_p\,\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\,\frac{\mathrm{d}p}{p}.
Explicando essa fórmula em linguagem simples: a entropia específica muda por duas contribuições — uma associada à variação de temperatura (proporcional a c_p e à variação relativa \mathrm{d}T/T) e outra associada à variação de pressão (proporcional a R e à variação relativa \mathrm{d}p/p). Aqui:
  • c_p é a capacidade térmica específica à pressão constante (unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
  • R é a constante específica do gás (unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
  • T é a temperatura em kelvin.
  • p é a pressão.
A equação acima decorre da combinação das relações termodinâmicas para gases ideais (não é preciso provar aqui em detalhe na prova, basta memorizar/entender a forma).

Passo 3

Integrando a diferencial entre o estado 1 e o estado 2, assumindo c_p constante, obtemos a expressão fechada:
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2} c_p\,\frac{\mathrm{d}T}{T} \;-\; \int_{p_1}^{p_2} R\,\frac{\mathrm{d}p}{p}
Como c_p e R são constantes, as integrais viram logaritmos naturais:
\Delta s = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Aqui cada termo tem unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} porque c_p e R têm essa unidade e os \ln são adimensionais.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos conhecidos na fórmula. Primeiro calculamos o termo da temperatura:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \ln\!\left(\frac{400}{300}\right) = \ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Calculemos numericamente:
\ln\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0,287682072.
Multiplicando por c_p:
c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 1,008 \times 0,287682072 \approx 0,2899835\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Expliquei: fiz a multiplicação direta e mantive casas decimais suficientes para evitar erro de arredondamento prematuro.

Passo 5

Agora o termo da pressão:
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \ln\!\left(\frac{5}{1}\right) = \ln(5).
Numericamente:
\ln(5) \approx 1,609437912.
Multiplicando por R:
R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = 0,287 \times 1,609437912 \approx 0,4619087\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Nota: usei R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, valor padrão aproximado para o ar seco.

Passo 6

Agora subtraímos os termos para obter \Delta s:
\Delta s = 0,2899835 - 0,4619087 \approx -0,1719252\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Interpretação curta e amigável: o resultado é negativo porque o aumento de pressão (compressão) reduz a entropia mais do que o aumento de temperatura a aumenta — faz sentido físico: compressão tende a ordenar mais o sistema, diminuindo entropia, e aqui esse efeito vence.

Passo 7

Arredondando com uma precisão razoável (4 algarismos significativos) para apresentação na prova:
\Delta s \approx -0,1719\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Pronto — esse é o valor que você colocaria na resposta.

Resposta

-0,1719\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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