Exercício 4. Ar atmosférico à 30^{\circ} \mathrm{C} escoa a 5 \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1} sobre uma superfície plana de 40 m de comprimento. Estime a espessura da camada limite fluidodinâmica, assumindo-se escoamento plenamente turbulento. Para os dois casos apresentados, determine a força de arrasto, considerando-se uma largura de superfície de 5 m e valores médios de coeficiente de atrito.
Dados: v_{a r}=1,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1} ; \rho_{a r}=1,16 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça duas coisas principais e dá os seguintes dados:
  • Pedidos:
    1. Estimar a espessura da camada limite fluidodinâmica sobre uma placa plana de comprimento L quando o escoamento é considerado plenamente turbulento.
    2. Determinar a força de arrasto para os dois casos (ver Observação abaixo), usando largura da superfície b=5\\ \mathrm{m} e valores médios do coeficiente de atrito.
  • Dados fornecidos:
    U = 5\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}},\quad L = 40\\ \mathrm{m},\quad \nu = 1,6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}},\quad \rho = 1{,}16\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},
    e largura b=5\\ \mathrm{m} (fornecida no enunciado).
Observação importante (inferida do enunciado): o enunciado diz explicitamente “assumindo-se escoamento plenamente turbulento”, mas também pede a força de arrasto “para os dois casos apresentados” e “valores médios de coeficiente de atrito”. Aqui vou interpretar os “dois casos” como:
  • Caso A: considerar o escoamento laminar ao longo da placa (usar correlações médias para escoamento laminar) — isto serve de comparação didática.
  • Caso B: considerar escoamento plenamente turbulento ao longo de toda a placa (conforme o enunciado principal).
A resolução segue a partir daqui.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds baseado no comprimento L. Explicação do conceito: o número de Reynolds \mathrm{Re} mede a razão entre efeitos de inércia e viscosos no escoamento; para uma placa usamos \mathrm{Re}_L=\dfrac{U L}{\nu}. Aqui:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{U L}{\nu} = \dfrac{5\cdot 40}{1{,}6\times 10^{-5}}.
Faço a conta passo a passo:
5\cdot 40 = 200,
\mathrm{Re}_L = \dfrac{200}{1{,}6\times 10^{-5}} = \dfrac{200}{0{,}000016} = 1{,}25\times 10^{7}.
Portanto,
\mathrm{Re}_L = 1{,}25\times 10^{7}.

Passo 3

Estimativa da espessura da camada limite turbulenta em x=L.
Teoria e fórmula: para escoamento turbulento sobre placa plana sem pressão externa (caso clássico), uma correlação empírica para a espessura da camada limite é
\dfrac{\delta}{x} \approx 0{,}37\,\mathrm{Re}_x^{-1/5},
onde \delta é espessura da camada limite no ponto x, e \mathrm{Re}_x = \dfrac{U x}{\nu}. No ponto final x=L usamos \mathrm{Re}_L.
Aplicando em x=L:
\delta(L) = 0{,}37\,L\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
Agora calculo \mathrm{Re}_L^{-1/5}. Já tenho \mathrm{Re}_L = 1{,}25\times 10^{7}. Computando a potência:
\mathrm{Re}_L^{-1/5} = (1{,}25\times 10^{7})^{-1/5} \approx 0{,}03816.
(este valor vem da avaliação da potência ^{-0{,}2}; mostrei o valor numérico para seguir sem pular etapas.)
Agora:
\delta(L) = 0{,}37 \cdot 40 \cdot 0{,}03816 = 14{,}8 \cdot 0{,}03816 \approx 0{,}5648\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a espessura da camada limite turbulenta na saída da placa de 40\\ \mathrm{m} é aproximadamente 0{,}565\\ \mathrm{m}. Isso significa que a maior parte do gradiente de velocidade ocorre numa camada com essa ordem de magnitude; fora dela o escoamento atinge quase U.

Passo 4

Definição do coeficiente de atrito e fórmula para a força de arrasto.
Conceito: o coeficiente de atrito local c_f(x) relaciona a tensão de cisalhamento na parede \tau_w com a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho U^2:
c_f(x) = \dfrac{\tau_w(x)}{\tfrac{1}{2}\rho U^2}.
A força de arrasto total sobre a placa é obtida integrando \tau_w na área; usando um coeficiente médio \overline{C_f} obtemos a forma prática:
F_D = \overline{C_f}\,\left(\tfrac{1}{2}\rho U^2\right)\,A,
onde A = L\cdot b é a área da placa (comprimento vezes largura). Aqui \tfrac{1}{2}\rho U^2 é a pressão dinâmica média.
Vou obter \overline{C_f} para os dois casos (laminar e turbulento) a seguir.

Passo 5

Coeficiente médio para escoamento laminar sobre placa (caso A).
Teoria: para escoamento laminar sobre placa plana sem pressão externa, a solução de Blasius dá o coeficiente local
c_f(x) = 0{,}664\,\mathrm{Re}_x^{-1/2},
com \mathrm{Re}_x = \dfrac{U x}{\nu}. O coeficiente médio sobre 0\le x\le L é:
\overline{C_f}_{\text{lam}} = \dfrac{1}{L}\int_{0}^{L} c_f(x)\,dx.
Faço a integral:
\overline{C_f}_{\text{lam}} = \dfrac{1}{L}\int_{0}^{L} 0{,}664\,(U/\nu)^{-1/2}\,x^{-1/2}\,dx = 0{,}664\,(U/\nu)^{-1/2}\,\dfrac{1}{L}\cdot \left[ 2 x^{1/2} \right]_{0}^{L}.
\overline{C_f}_{\text{lam}} = 0{,}664\,(U/\nu)^{-1/2}\,\dfrac{2 L^{1/2}}{L} = 1{,}328\,(U L/\nu)^{-1/2}.
Em termos de \mathrm{Re}_L:
\overline{C_f}_{\text{lam}} = 1{,}328\,\mathrm{Re}_L^{-1/2}.
Agora avalio numericamente usando \mathrm{Re}_L = 1{,}25\times 10^{7}.
\mathrm{Re}_L^{-1/2} = (1{,}25\times 10^{7})^{-1/2} \approx 2{,}828\times 10^{-4}.
Logo
\overline{C_f}_{\text{lam}} \approx 1{,}328 \times 2{,}828\times 10^{-4} \approx 3{,}759\times 10^{-4}.

Passo 6

Coeficiente médio para escoamento turbulento sobre placa (caso B).
Teoria: para escoamento plenamente turbulento sobre placa plana sem pressão externa, uma forma empírica para o coeficiente local é
c_f(x) = 0{,}0592\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.
Integração para obter o coeficiente médio dá:
\overline{C_f}_{\text{turb}} = \dfrac{1}{L}\int_0^L 0{,}0592\,(U/\nu)^{-1/5} x^{-1/5} dx = 0{,}0592\,(U/\nu)^{-1/5}\dfrac{1}{L}\cdot \left[ \dfrac{x^{4/5}}{4/5}\right]_0^L.
\overline{C_f}_{\text{turb}} = 0{,}0592\,(U/\nu)^{-1/5}\cdot \dfrac{5}{4}\,L^{-1/5} = 0{,}074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
Agora avalio numericamente. Já calculei \mathrm{Re}_L^{-1/5}\approx 0{,}03816. Então
\overline{C_f}_{\text{turb}} \approx 0{,}074 \times 0{,}03816 \approx 2{,}8238\times 10^{-3}.

Passo 7

Cálculo da força de arrasto F_D para ambos os casos.
Primeiro calculo a pressão dinâmica:
q = \tfrac{1}{2}\rho U^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}16\cdot 5^2 = 0{,}58\cdot 25 = 14{,}5\\ \mathrm{N\cdot m^{-2}}.
Área da placa (comprimento \times largura):
A = L\cdot b = 40\cdot 5 = 200\\ \mathrm{m^2}.
Produto qA:
qA = 14{,}5 \times 200 = 2900\\ \mathrm{N}.
Agora a força de arrasto em cada caso:
  • Caso A (laminar, usando \overline{C_f}_{\text{lam}}):
F_{D,\text{lam}} = \overline{C_f}_{\text{lam}}\, qA = 3{,}759\times 10^{-4} \times 2900 \approx 1{,}09\\ \mathrm{N}.
  • Caso B (turbulento, usando \overline{C_f}_{\text{turb}}):
F_{D,\text{turb}} = \overline{C_f}_{\text{turb}}\, qA = 2{,}8238\times 10^{-3} \times 2900 \approx 8{,}19\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força de arrasto no caso turbulento é muito maior que no caso laminar (ainda que ambos sejam relativamente baixos em nível absoluto, pois o escoamento e a pressão dinâmica são moderados). Em escoamentos reais sobre placas longas e com grande velocidade, a camada tende a tornar-se turbulenta e o arrasto aumenta.

Resposta

\delta(L)\approx 0{,}565\\ \mathrm{m}
F_{D,\text{lam}} \approx 1{,}09\\ \mathrm{N}
F_{D,\text{turb}} \approx 8{,}19\\ \mathrm{N}

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