Develop a general expression for for an ideal gas that goes from to where heat capacity is given by:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a expressão geral para a variação de entropia do sistema, , de um gás ideal que passa de um estado inicial com pressão e temperatura para um estado final com pressão e temperatura . Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre a entropia e capacidades caloríficas. Além disso, temos a capacidade calorífica a pressão constante dada por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia para um gás ideal pode ser calculada usando a seguinte expressão:
Aqui, é a constante dos gases ideais. Essa fórmula vem da definição de entropia e considera tanto a variação de temperatura quanto a variação de pressão.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes: uma que depende da capacidade calorífica e outra que depende da variação de pressão. A primeira parte é a integral de em relação a , e a segunda parte é . Como é dado por , vamos substituir na integral:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da integral dividindo cada termo por :
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Isso resulta em:
A (ln T2 - ln T1) + B (T2 - T1) + C2 (T2^2 - T1^2)