Develop a general expression for De for an ideal gas that goes from (P1, T1) to (P2, T2) where heat capacity is given by:
cP=A+B T+C T^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a expressão geral para a variação de entropia do sistema, De, de um gás ideal que passa de um estado inicial com pressão P1 e temperatura T1 para um estado final com pressão P2 e temperatura T2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre a entropia e capacidades caloríficas. Além disso, temos a capacidade calorífica a pressão constante dada por cP=A+B T+C T^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia para um gás ideal pode ser calculada usando a seguinte expressão:
De
Aqui, R é a constante dos gases ideais. Essa fórmula vem da definição de entropia e considera tanto a variação de temperatura quanto a variação de pressão.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes: uma que depende da capacidade calorífica e outra que depende da variação de pressão. A primeira parte é a integral de cP/T em relação a T, e a segunda parte é -R ln(P2/P1). Como cP é dado por A + B T + C T^2, vamos substituir na integral:
integralT1^T2 A + B T + C T^2T , dT

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral dividindo cada termo por T:
integralT1^T2 ( AT + B + C T ) , dT
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando termo a termo:
  1. integral AT , dT = A ln T
  2. integral B , dT = B T
  3. integral C T , dT = C T^22
Então, a integral completa fica:
A ln T |T1^T2 + B T |T1^T2 + C T^22 |T1^T2
Isso resulta em:
A (ln T2 - ln T1) + B (T2 - T1) + C2 (T2^2 - T1^2)

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter De:
De

Resposta

A variação de entropia do sistema é dada por:
De

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