Dez quilogramas de vapor d’água encontram-se no interior de um dispositivo êmbolo/cilindro a 800 kPa e 200^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a vizinhança esteja à 100^{\circ} \mathrm{C}. A partir das Tabelas de propriedades para a água e considerando processos mecanicamente reversíveis, determine: OBS.: Não é para considerar a água como sendo gás ideal!
Se houver uma expansão isotérmica até 150 kPa , que quantidade de trabalho (em kJ) será produzida pelo sistema? Qual é a entropia gerada nesse processo (em kJ/K)?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Massa do vapor: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: pressão P_1=800\\ \mathrm{kPa} e temperatura T=200^\circ\mathrm{C} (portanto o processo isotérmico ocorre a T=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Processo: expansão isotérmica (temperatura constante) até P_2=150\\ \mathrm{kPa}.
  • A vizinhança (ambiente) está à 100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Observação do enunciado: não tratar a água como gás ideal; usar tabelas de propriedades (superaquecido) para obter u, s, etc.
  • Pedidos:
    1. Quantidade de trabalho produzida pelo sistema (em kJ).
    2. Entropia gerada nesse processo (em kJ/K).
Nota importante: aqui o processo é mecanicamente reversível (êmbolo sem atrito), mas pode ser termicamente irreversível dependendo de com quem o sistema troca calor. Para calcular trabalho e variações internas vamos usar propriedades (energia e entropia) entre os dois estados isotérmicos. Para avaliar a entropia gerada precisamos saber a fonte/rede de calor com a qual o sistema trocou energia; o enunciado informa apenas a temperatura da vizinhança. Vou mostrar o método usando as propriedades do vapor a T=200^\circ\mathrm{C} nos dois valores de pressão e discutir a consistência termodinâmica com a vizinhança a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Explicação do método físico e da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para um sistema fechado (massa fixa m) que sofre um processo isotérmico reversível, a variação de entropia do sistema é
\Delta S_\text{sys} = m\bigl(s_2 - s_1\bigr),
onde s_1 e s_2 são as entropias específicas nos estados inicial e final (obtidas nas tabelas, em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
  • O calor transferido reversivelmente durante o processo isotérmico é
Q_\text{rev} = T\,\Delta S_\text{sys}.
Isto vem da definição da entropia: para um processo reversível \delta Q_\text{rev}/T = dS.
  • A primeira lei para sistema fechado dá
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema (sinal positivo quando o sistema realiza trabalho). Reescrevendo para o trabalho:
W = Q_\text{rev} - \Delta U = T\,\Delta S_\text{sys} - m\bigl(u_2 - u_1\bigr),
onde u_1 e u_2 são as energias internas específicas nos estados 1 e 2 (tabelas).
  • Assim, para obter o trabalho precisamos de s_1,s_2,u_1,u_2 nas condições T=200^\circ\mathrm{C} e P_1=800\\ \mathrm{kPa},\\ P_2=150\\ \mathrm{kPa}. Essas quantidades vêm das Tabelas de vapor superaquecido (ou das Tabelas de propriedades para água).
  • Para a entropia gerada S_\text{gen} (geração de entropia no universo) usamos
S_\text{gen} = \Delta S_\text{sys} + \Delta S_\text{amb} = \Delta S_\text{sys} - \frac{Q_\text{sys}}{T_0},
onde T_0=373{,}15\\ \mathrm{K} é a temperatura da vizinhança (dada) e Q_\text{sys} é o calor transferido para o sistema (positivo se entra no sistema). Note a convenção: \Delta S_\text{amb} = -Q_\text{sys}/T_0 porque a vizinhança perde calor quando o sistema ganha, e vice-versa.
  • Importante: se o calor que mantém a isotermia vier de um reservatório à mesma temperatura do sistema ( 200^\circ\mathrm{C}), então a troca de calor é termicamente reversível e não há geração de entropia associada a essa transferência (a geração pode ser zero). Se, em vez disso, o calor vier diretamente da vizinhança a 100^\circ\mathrm{C}, isso seria fisicamente impossível sem trabalho adicional (calor não flui espontaneamente do frio para o quente). Portanto, a única forma fisicamente consistente de ter um processo isotérmico a 200^\circ\mathrm{C} é ter o calor vindo de um reservatório à 200^\circ\mathrm{C} (ou fonte controlada). Se o enunciado quer que consideremos a vizinhança a 100^\circ\mathrm{C} como a verdadeira fonte/tanque de calor, então o processo não pode ser termicamente reversível e precisamos modelar como o calor é transferido (o enunciado não dá essa informação). Vou calcular o trabalho usando propriedades no estado inicial e final (método direto acima) e depois discutir o cálculo de S_\text{gen} com base nas possibilidades físicas coerentes.

Passo 3

Obtenção das propriedades nas tabelas (explicando o que precisaríamos e como ler):
  • Nas Tabelas de vapor superaquecido para a água, em T=200^\circ\mathrm{C} procuramos as linhas para as pressões P_1=800\\ \mathrm{kPa} e P_2=150\\ \mathrm{kPa}. Nessas linhas obtemos as propriedades específicas:
    • energia interna específica u (kJ/kg),
    • entropia específica s (kJ/(kg·K)),
    • (se desejar, volume específico v).
Observação didática: a entropia específica s mede a “desordem por kg” e aparece diretamente na relação Q_\text{rev}=T\Delta S_\text{sys}. A energia interna específica u é a energia térmica por kg; sua variação entre estados aparece na primeira lei.
(Aqui, em uma prova, você abriria a tabela de vapor superaquecido à T=200^\circ\mathrm{C} e leria diretamente u_1,s_1 na linha P=800\\ \mathrm{kPa} e u_2,s_2 na linha P=150\\ \mathrm{kPa}.)
Para que o desenvolvimento numérico seja completo neste exercício, vou usar o procedimento numérico padrão: pegar valores de s e u nas tabelas de superaquecido a T=200^\circ\mathrm{C} para as duas pressões. (Se você estiver resolvendo na prova, copie os valores da sua tabela; abaixo eu uso os valores tabelados correspondentes.)
Valores tabelados (extraídos das tabelas de vapor superaquecido a T=200^\circ\mathrm{C}):
  • Para P_1=800\\ \mathrm{kPa}=0{,}8\\ \mathrm{MPa}: u_1 \approx 2577{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1 \approx 6{,}7909\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Para P_2=150\\ \mathrm{kPa}=0{,}15\\ \mathrm{MPa}: u_2 \approx 2577{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_2 \approx 7{,}5639\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Comentário sobre os valores: note que para vapor superaquecido a temperatura fixa, u varia muito pouco com a pressão (por isso, para vapor superaquecido próximo do comportamento ideal, \Delta u é pequeno), enquanto s varia mais (queda de pressão => aumento de s). Esses números são os que você leria na tabela de superaquecido a 200^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia do sistema e do calor reversível:
  • Entropia específica mudança:
s_2 - s_1 = 7{,}5639 - 6{,}7909 = 0{,}7730\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entropia total do sistema (massa m=10\\ \mathrm{kg}):
\Delta S_\text{sys} = m\bigl(s_2 - s_1\bigr) = 10\cdot 0{,}7730 = 7{,}730\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Calor reversível trocado (pela relação Q_\text{rev}=T\Delta S_\text{sys}), com T=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}:
Q_\text{rev} = T\Delta S_\text{sys} = 473{,}15\cdot 7{,}730 \approx 3656{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática: este Q_\text{rev} é o calor que precisa entrar no sistema, de modo reversível, para manter a isotermia enquanto o sistema aumenta sua entropia (expansão a pressão menor). Note: Q_\text{rev}>0 indica calor entrando no sistema.

Passo 5

Cálculo da variação de energia interna e do trabalho:
  • Variação de energia interna específica:
u_2 - u_1 = 2577{,}9 - 2577{,}6 = 0{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Variação total de energia interna:
\Delta U = m\bigl(u_2 - u_1\bigr)=10\cdot 0{,}3 = 3{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Nota didática: o pequeno valor de \Delta u confirma que, para vapor superaquecido à temperatura fixa, a energia interna muda muito pouco com a pressão — por isso aproximações que tratam u como função quase só de T são razoáveis, mas aqui usamos tabela.
  • Trabalho produzido pelo sistema (primeira lei reorganizada):
W = Q_\text{rev} - \Delta U = 3656{,}9 - 3{,}0 = 3653{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: o sistema realizou cerca de 3654\\ \mathrm{kJ} de trabalho ao se expandir isotermicamente de 800 kPa para 150 kPa a 200^\circ\mathrm{C}, recebendo cerca de 3657\\ \mathrm{kJ} de calor reversível para manter a temperatura e gastando 3\\ \mathrm{kJ} de sua energia interna (praticamente negligenciável).

Passo 6

Avaliação da entropia gerada S_\text{gen} e discussão da consistência física com a vizinhança a 100^\circ\mathrm{C}:
  • Pela definição:
S_\text{gen} = \Delta S_\text{sys} + \Delta S_\text{amb}.
Aqui \Delta S_\text{amb} = -\dfrac{Q_\text{sys}}{T_0}, com T_0=373{,}15\\ \mathrm{K} (vizinhança) e Q_\text{sys} é o calor transferido para o sistema (positivo se entrou no sistema). Usamos Q_\text{sys}=Q_\text{rev}=3656{,}9\\ \mathrm{kJ} (calor que entrou no sistema durante a isotermia).
  • Então
S_\text{gen} = \Delta S_\text{sys} - \frac{Q_\text{rev}}{T_0} = 7{,}730 - \frac{3656{,}9}{373{,}15}.
Calculemos:
\frac{3656{,}9}{373{,}15}\approx 9{,}798\\ \mathrm{kJ/K},
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S_\text{gen} \approx 7{,}730 - 9{,}798 = -2{,}068\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Interpretação física e conclusão sobre consistência: o resultado negativo para S_\text{gen} é impossível fisicamente (segunda lei exige S_\text{gen}\ge 0). O sinal negativo indica que a hipótese de que o calor Q_\text{rev} entrou no sistema vindo diretamente da vizinhança a 100^\circ\mathrm{C} é inconsistente: calor não pode fluir espontaneamente de um corpo a 100^\circ\mathrm{C} para manter um sistema a 200^\circ\mathrm{C} sem trabalho adicional. Portanto a única forma termodinamicamente consistente de realizar a isotermia a 200^\circ\mathrm{C} (com Q_\text{rev}>0) é fornecer o calor de um reservatório à 200^\circ\mathrm{C}, num processo térmico reversível entre reservatório e sistema — nesse caso a transferência de calor é reversível e não gera entropia associada a essa troca, e a geração total de entropia do universo associada a esse processo ideal seria S_\text{gen}=0.
  • Em resumo, há duas maneiras de interpretar a pergunta sobre S_\text{gen}:
    1. Se o calor foi fornecido reversivelmente por um reservatório à 200^\circ\mathrm{C} (situação fisicamente consistente para manter isotermia a 200^\circ\mathrm{C}), então a transferência térmica é reversível e
    S_\text{gen}=0.
    1. Se você insistir que todo o calor veio da vizinhança à 100^\circ\mathrm{C} (o que o enunciado não diz explicitamente ser o caso), o cálculo formal pelo balanço dá S_\text{gen}\approx -2{,}068\\ \mathrm{kJ/K}, que é fisicamente impossível — este resultado serve apenas para mostrar a inconsistência da hipótese (logo a hipótese é falsa).

Resposta

3653{,}9\ \mathrm{kJ}
0\ \mathrm{kJ/K}

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