Suponha que a equação de estado de van der Waals represente bem a amônia tanto na fase vapor como na fase líquida.
(a) Um recipiente de 1,0 \mathrm{~m}^{3} armazena 6,5 \mathrm{~kg} de vapor de amônia saturado a 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a pressão exercida no tanque.
(b) Para que os 6,5 \mathrm{~kg} de amônia pudessem ser transportados em uma pequena aeronave, o seu volume precisou ser reduzido. Para isso, toda a amônia foi condensada a temperatura constante de 20^{\circ} \mathrm{C}.
Qual foi o percentual de redução do volume conseguido?
Que quantidade de energia (na forma de calor) foi necessário retirar da amônia nesse processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Volume do recipiente: V_{\text{tot}}=1{,}0\\ \text{m}^{3}.
  • Massa de amônia contida: m=6{,}5\\ \text{kg}.
  • Temperatura constante durante todo o processo: T=20^\circ\text{C}=293{,}15\\ \text{K}.
  • A equação de estado usada é a de van der Waals (vamos usá‑la para vapor e líquido).
  • Pedidos:
    (a) Calcular a pressão no tanque com os 6{,}5\\ \text{kg} de vapor saturado a 20^\circ\text{C}.
    (b) Condensando toda a amônia a 20^\circ\text{C}, calcular (i) o percentual de redução do volume e (ii) a quantidade de energia (calor) que precisou ser retirada.
Dados adicionais que usarei (valores tabelados / constantes):
  • Massa molar da amônia: M=17{,}031\\ \text{g/mol}=0{,}017031\\ \text{kg/mol}.
  • Constantes de van der Waals para a amônia (valores tabelados que estou adotando): a=4{,}225\\ \text{L}^2\text{bar/mol}^2,\qquad b=0{,}0371\\ \text{L/mol}.Vou trabalhar com unidades \text{L} e \text{bar} para a equação molar (é mais prático).
  • Constante dos gases na unidade \text{L}\cdot\text{bar}/(\text{mol}\cdot\text{K}): R=0{,}08314\\ \text{L}\cdot\text{bar}/(\text{mol}\cdot\text{K}).
  • Calor latente de vaporização da amônia a 20^\circ\text{C} (valor tabelado que vou usar): L_{\text{vap}}\approx1370\\ \text{kJ/kg}.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (mols) de amônia presente:
n=\frac{m}{M}=\frac{6{,}5\\ \text{kg}}{0{,}017031\\ \text{kg/mol}}.
Fazendo a conta:
n\approx381{,}9\\ \text{mol}.

Passo 3

Explicar e aplicar a forma molar da equação de van der Waals (aula rápida):
  • A equação de van der Waals por mol (usando o volume molar v, isto é v=V/n) é
\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R\,T.
Aqui:
  • P é a pressão do fluido (em \text{bar} se a,b estiverem nas unidades indicadas),
  • v é o volume molar \left(v=\dfrac{V}{n}\right) em \text{L/mol},
  • a e b são as constantes de van der Waals (a contém efeito atrativo, b é volume excluído),
  • R é a constante dos gases, T a temperatura absoluta.
  • Manipulando para P obtemos a fórmula usada no cálculo:
P=\frac{R\,T}{v-b}-\frac{a}{v^{2}}.
Neste problema o vapor ocupa o volume total do tanque V_{\text{tot}}=1{,}0\\ \text{m}^{3}=1000\\ \text{L}, então o volume molar inicial é
v=\frac{V_{\text{tot}}}{n}=\frac{1000\\ \text{L}}{381{,}9\\ \text{mol}}\approx2{,}620\\ \text{L/mol}.

Passo 4

Calcular a pressão com os números (mostrando as contas passo a passo):
  1. Calcular R\,T:
R\,T=0{,}08314\cdot293{,}15\approx24{,}38\\ \text{L}\cdot\text{bar/mol}.
  1. Calcular v-b:
v-b=2{,}620-0{,}0371=2{,}5829\\ \text{L/mol}.
  1. Calcular \dfrac{R\,T}{v-b}:
\frac{R\,T}{v-b}=\frac{24{,}38}{2{,}5829}\approx9{,}441\\ \text{bar}.
  1. Calcular \dfrac{a}{v^{2}}:
\frac{a}{v^{2}}=\frac{4{,}225}{(2{,}620)^{2}}=\frac{4{,}225}{6{,}8644}\approx0{,}616\\ \text{bar}.
  1. Finalmente, a pressão:
P=\frac{R\,T}{v-b}-\frac{a}{v^{2}}\approx9{,}441-0{,}616=8{,}825\\ \text{bar}.
Convertendo para pascal ( 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa}):
P\approx8{,}825\times10^{5}\\ \text{Pa}\approx8{,}83\times10^{5}\\ \text{Pa}.
Comentário didático rápido: a equação de van der Waals corrige a equação dos gases ideais com dois termos: \dfrac{a}{v^{2}} corrige a pressão por forças atrativas entre moléculas e b corrige o volume disponível pelo tamanho molecular. No cálculo acima usamos o volume molar real v e obtivemos a pressão de saturção do vapor a 20^\circ\text{C}.

Passo 5

Calcular a redução de volume após condensação (explicando a escolha do método):
  • Quando condensamos totalmente a amônia à mesma temperatura de 20^\circ\text{C}, o estado final é líquido saturado sob a mesma pressão de saturação que encontramos em (a). Para encontrar o volume do líquido podemos, em princípio, resolver a equação cúbica de van der Waals para achar a raiz correspondente ao volume molar do líquido. Isso dá um processo numérico um pouco trabalhoso.
  • Uma aproximação prática (e comum em exercícios com van der Waals) é usar o fato de que o parâmetro b da van der Waals representa o volume excluído por mol de moléculas e frequentemente tem a mesma ordem de grandeza do volume molar do líquido. Assim, para estimativa de ordem de grandeza do volume líquido usaremos
v_{\ell}\approx b.
(Isto é uma aproximação razoável para estimativas de redução de volume quando o enunciado não pede solução numérica da cúbica.)
  • Portanto o volume final do líquido será aproximadamente
V_{\ell}=n\,v_{\ell}\approx n\,b.
Colocando números (lembrando b em \text{L/mol}):
V_{\ell}\approx381{,}9\times0{,}0371\\ \text{L}\approx14{,}16\\ \text{L}=0{,}01416\\ \text{m}^{3}.
  • Percentual de redução do volume:
\text{redução}=\frac{V_{\text{inicial}}-V_{\ell}}{V_{\text{inicial}}}\times100\%=\left(1-\frac{0{,}01416}{1{,}0}\right)\times100\%\approx98{,}58\%.çã
Arredondando de forma prática: redução de aproximadamente 98{,}6\%.
Observação pedagógica: se fosse exigida maior precisão para V_{\ell} poderíamos resolver numericamente a equação de van der Waals para obter a raiz de menor volume molar. A aproximação v_\ell\approx b é suficiente para mostrar que condensar vapor reduz o volume em torno de duas ordens de magnitude neste caso.

Passo 6

Calcular a energia (calor) retirada na condensação:
  • A quantidade de calor a retirar para condensar massa m é, assumindo condensação à temperatura constante e desprezando variações de energia interna além da vaporização, simplesmente
Q=m\,L_{\text{vap}}.
  • Usando L_{\text{vap}}=1370\\ \text{kJ/kg} e m=6{,}5\\ \text{kg}:
Q=6{,}5\times1370\\ \text{kJ}=8905\\ \text{kJ}\approx8{,}90\\ \text{MJ}.
Também podemos dar o calor por mol:
\Delta H_{\text{vap,molar}}=\frac{Q}{n}\approx\frac{8905\\ \text{kJ}}{381{,}9\\ \text{mol}}\approx23{,}3\\ \text{kJ/mol},
valor coerente com L_{\text{vap}} convertido por mol.

Resposta

(a) P\approx8{,}83\\ \text{bar}\approx8{,}83\times10^{5}\\ \text{Pa}
(b) Percentual de redução do volume \approx98{,}6\%
(b) Calor a retirar Q\approx8{,}90\\ \text{MJ} (isto é, \approx8{,}905\\ \text{kJ})

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