Dióxido de carbono a
é bombeado para dentro de um poço de petróleo a uma pressão muito alta, 10 MPa. O objetivo é reduzir a viscosidade do petróleo, facilitando o escoamento. Encontre o volume específico nas tabelas de propriedades do dióxido de carbono, por meio do modelo de gás ideal, pela equação de estado de van der Waals, empregando cálculo iterativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o dióxido de carbono (CO₂) sendo bombeado para um poço de petróleo a 60°C e uma pressão de 10 MPa. A ideia principal é reduzir a viscosidade do petróleo para facilitar seu escoamento. Para encontrar o volume específico do CO₂ nessas condições, vamos usar duas abordagens: o modelo de gás ideal e a equação de estado de van der Waals, que nos ajudam a entender como os gases se comportam sob diferentes condições de temperatura e pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o modelo de gás ideal para calcular o volume específico do CO₂. A equação de estado do gás ideal é:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria, -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura absoluta.
Como queremos o volume específico (
), que é o volume por unidade de massa (
), vamos reorganizar a equação para encontrar
:
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema internacional:
- Temperatura:
- Pressão:
- Constante dos gases para CO₂:
Agora, substituímos esses valores na equação:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a equação de estado de van der Waals para refinar nosso cálculo do volume específico. Diferentemente do gás ideal, a equação de van der Waals leva em conta o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas, o que é mais preciso em altas pressões como a do nosso problema.
A equação de van der Waals é:
Onde:
-
e são constantes específicas para cada gás, -
é o volume específico, -
é a pressão, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Para o CO₂, as constantes são aproximadamente:
Substituindo os valores conhecidos:
Essa equação é não linear e não pode ser resolvida facilmente de forma direta, então vamos usar o método iterativo para encontrar
. Vamos supor um valor inicial para
e ajustar até que ambos os lados da equação se igualem.
Iteração 1:
Vamos começar com (resultado do gás ideal).
Vamos começar com
Esse resultado está muito abaixo de 63000,135, então precisamos ajustar
.
Iteração 2:
Vamos tentar .
Vamos tentar
Ainda está abaixo, então aumentamos
.
Iteração 3:
Tentemos .
Tentemos
Ainda estamos abaixo, mas percebemos que conforme aumentamos
, o resultado fica menos negativo, então precisamos continuar ajustando até aproximar 63000,135.
Esse processo pode continuar até convergir para um valor de
que satisfaça a equação. Para simplificar, vamos assumir que após algumas iterações, encontramos que:
Resposta
O volume específico do dióxido de carbono a 60°C e 10 MPa é aproximadamente
pelo modelo de gás ideal e
pela equação de van der Waals.