Dióxido de carbono expande isotermicamente sob regime permanente sem irreversibilidades através de uma turbina, entrando a 10 bar e 500 K e saindo a 2 bar. Assumindo o comportamento de gás ideal para o ar e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine a transferência de calor e o trabalho realizado, ambos em kJ por kg de CO 2 .

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dado: dióxido de carbono entra em uma turbina a \;p_1=10\\ \text{bar}\; e \;T=500\\ \text{K}\; e sai a \;p_2=2\\ \text{bar}.
  • Condições adicionais (fornecidas pelo enunciado): expansão isotérmica ( T constante), regime permanente (escoamento estacionário), sem irreversibilidades (processo reversível), desprezar variações de energia cinética e potencial.
  • Hipótese de comportamento: gás ideal (para o CO _2 usaremos o modelo de gás ideal).
  • Pedidos: determinar a transferência de calor por massa ( q, em kJ/kg de CO _2) e o trabalho realizado por massa ( w, em kJ/kg de CO _2).

Passo 2

Escolha do método e aplicação da primeira lei para escoamento estacionário (dispositivo de fluxo estacionário — turbina):
  • Para um dispositivo em regime permanente, sem acumulação de energia, e desprezando energia cinética e potencial, a primeira lei na forma específica (por massa) é
q - w = h_2 - h_1,
onde q é o calor específico recebido pelo fluido, w é o trabalho específico extraído pelo dispositivo (trabalho de eixo, positivo quando realizado pelo sistema) e h é a entalpia específica.
  • Para um gás ideal, a entalpia depende apenas da temperatura: h = h(T). Como o processo é isotérmico ( T_1=T_2), temos h_2-h_1=0.
  • Substituindo na equação da energia:
q - w = 0 \quad\Rightarrow\quad q = w.
Portanto, para este processo isotérmico e ideal, a quantidade de calor trocada por unidade de massa é numericamente igual ao trabalho específico produzido pela turbina. Resta calcular o valor numérico.

Passo 3

Usar a relação termodinâmica para calor em processo isotérmico reversível: q = T\,\Delta s
  • Para um processo reversível, a transferência de calor por unidade de massa é dada por
q = T\,(s_2-s_1),
onde s é a entropia específica e T a temperatura (aqui constante e igual a 500\\ \text{K}).
  • Para um gás ideal a partir da relação de propriedades, a variação de entropia específica entre estados quaisquer é
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Expliquei: c_p é o calor específico a pressão constante por massa (dependendo de T), R é a constante específica do gás, T em K e p em mesma unidade (a razão de pressões é adimensional). No nosso caso T_2=T_1, então a primeira parcela anula-se e sobra
s_2-s_1 = -R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Logo
q = T\,(s_2-s_1) = -R\,T\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).

Passo 4

Determinar a constante específica R do CO _2 e calcular \Delta s
  • A constante dos gases ideal por massa é \;R = \dfrac{R_u}{M}\;, onde R_u é a constante universal dos gases e M a massa molar do gás.
  • Usamos R_u = 8,314462618\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kmol}\cdot\text{K}) e a massa molar do CO _2 M = 44,01\\ \text{kg}\!/\!\text{kmol}. Portanto
R = \frac{8,314462618}{44,01}\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}) \approx 0,18892\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Calcular \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right). Como p_1=10\\ \text{bar} e p_2=2\\ \text{bar},
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\ln(0,2)\approx -1,6094379.
  • Então a variação de entropia específica é
s_2-s_1 = -R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -0,18892\cdot(-1,6094379)\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}) \approx 0,303 \\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}).
(Confira: 0,18892\times 1,6094379 \approx 0,3030.)

Passo 5

Calcular o calor específico q e o trabalho específico w
  • Como q = T\,(s_2-s_1) e T=500\\ \text{K},
q = 500\\ \text{K}\times 0,3030\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}) \approx 151,5\\ \text{kJ}\!/\!\text{kg}.
(Fazendo com mais casas: q = -R T \ln(p_2/p_1) = -0,18892\cdot 500\cdot\ln(0,2) \approx 152,0\\ \text{kJ/kg}.)
  • Pelo resultado do Passo 2 temos w = q. Para a turbina, esse é o trabalho produzido pelo fluido (trabalho entregue ao eixo), logo o trabalho específico extraído é aproximadamente 152,0\\ \text{kJ/kg}.
  • Sobre sinais: q>0 significa calor fornecido ao fluido; w>0 significa trabalho produzido pelo sistema (turbina). Num enunciado prático, costuma-se informar o módulo do trabalho entregue pela turbina, que aqui é 152,0\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Breve interpretação e confereçãozinha final (ânimo!)
  • Intuitivamente: ao expandir isotermicamente contra uma queda de pressão grande (10 → 2 bar), o gás faz trabalho; para manter a temperatura constante é necessário fornecer calor ao gás. Num gás ideal esse calor fornecido e o trabalho extraído têm o mesmo valor por massa.
  • Não se assuste com as contas: a fórmula chave foi q = -R T \ln(p_2/p_1). Você pode aplicar direto quando tiver isoterma e gás ideal.

Resposta

q = 152,0\\ \mathrm{kJ/kg}
w = 152,0\\ \mathrm{kJ/kg}

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