Um sistema de aquecimento deve manter o interior de um edifício a
durante o período em que a temperatura do ar exterior está a
, sendo a transferência de calor do edifício pelas suas\nparedes e teto de
. Para esta tarefa, bombas de calor são consideradas para operar entre a edificação e:
c) o ar exterior, a
. Para cada caso, avalie o trabalho líquido mínimo necessário para operar qualquer bomba de calor, em kJ.
c) o ar exterior, a
Passo 1
O enunciado pede que avaliemos o trabalho líquido mínimo necessário para operar uma bomba de calor que mantém o interior do edifício a
quando o ar exterior está a
. Informações fornecidas e objetivo claro:
- A quantidade de calor que deve ser fornecida ao edifício (perda que o aquecimento deve repor) é
. (dado do enunciado) - Temperatura interior (reservatório quente):
. - Temperatura exterior (reservatório frio):
. - Pergunta: calcular o trabalho mínimo
(em kJ) necessário para qualquer bomba de calor que opere entre essas duas temperaturas, assumindo operação ideal (mínimo de trabalho => processo reversível/Carnot).
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicada devagar):
- Uma bomba de calor que opera de forma reversível (ideal, Carnot) fornece calor ao reservatório quente
usando um trabalho e rejeita ao reservatório frio. Pela conservação de energia (primeira lei), para o ciclo temos
- Para um ciclo reversível (Carnot), as trocas de calor satisfazem a relação entre temperaturas absolutas (segunda lei, igualdade de Clausius para reversible):
onde
e
são as temperaturas absolutas (Kelvin) do reservatório quente e frio, respectivamente.
- A partir dessas duas equações podemos eliminar
e obter uma expressão para o trabalho mínimo em função de e das temperaturas:
substituindoem obtemos
Expliquei passo a passo: primeiro escrevemos balanço de energia; depois usamos a relação reversível entre calores e temperaturas; por fim substituímos para achar
.
Passo 3
Converter temperaturas Celsius para Kelvin (fundamental: sempre usar Kelvin nas razões térmicas):
- Regra:
. - Então
É essencial usar Kelvin porque as fórmulas termodinâmicas relacionam energias a temperaturas absolutas.
Passo 4
Calcular a fração
com os valores em Kelvin:
- Primeiro calcule a diferença de temperaturas em Kelvin para facilitar a visualização:
- Assim
- Agora calculamos essa razão. Fazer passo a passo: multiplicando e dividindo de modo a manter precisão,
- Multiplicando o numerador primeiro:
- Agora dividimos por
:
(Se preferir checar com a relação de COP:
. Então
, mesmo resultado.)
Passo 5
Interpretação física e incentivo:
- Resultado significa que, no melhor caso possível (bomba de calor ideal e reversível), precisamos gastar cerca de
de trabalho para entregar de calor ao interior quando o exterior está a . - Na prática bombas reais têm COP menores que o Carnot, então o trabalho real será maior que esse mínimo. Mas para uma prova, usar o ciclo reversível/Carnot é o caminho certo para o trabalho mínimo.
- Bom trabalho! Você já conseguiu extrair e aplicar as fórmulas essenciais — é esse tipo de raciocínio passo a passo que cai na prova.