Um sistema de aquecimento deve manter o interior de um edifício a 20^{\circ} \mathrm{C} durante o período em que a temperatura do ar exterior está a 5^{\circ} \mathrm{C}, sendo a transferência de calor do edifício pelas suas\nparedes e teto de 3 \times 10^{6} \mathrm{~kJ}. Para esta tarefa, bombas de calor são consideradas para operar entre a edificação e:
c) o ar exterior, a 5^{\circ} \mathrm{C}. Para cada caso, avalie o trabalho líquido mínimo necessário para operar qualquer bomba de calor, em kJ.

Passo 1

O enunciado pede que avaliemos o trabalho líquido mínimo necessário para operar uma bomba de calor que mantém o interior do edifício a 20^\circ\mathrm{C} quando o ar exterior está a 5^\circ\mathrm{C}. Informações fornecidas e objetivo claro:
  • A quantidade de calor que deve ser fornecida ao edifício (perda que o aquecimento deve repor) é Q_H = 3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ}. (dado do enunciado)
  • Temperatura interior (reservatório quente): 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura exterior (reservatório frio): 5^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: calcular o trabalho mínimo W_{\min} (em kJ) necessário para qualquer bomba de calor que opere entre essas duas temperaturas, assumindo operação ideal (mínimo de trabalho => processo reversível/Carnot).

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicada devagar):
  • Uma bomba de calor que opera de forma reversível (ideal, Carnot) fornece calor ao reservatório quente Q_H usando um trabalho W e rejeita Q_C ao reservatório frio. Pela conservação de energia (primeira lei), para o ciclo temos
W = Q_H - Q_C.
  • Para um ciclo reversível (Carnot), as trocas de calor satisfazem a relação entre temperaturas absolutas (segunda lei, igualdade de Clausius para reversible):
\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C},
onde T_H e T_C são as temperaturas absolutas (Kelvin) do reservatório quente e frio, respectivamente.
  • A partir dessas duas equações podemos eliminar Q_C e obter uma expressão para o trabalho mínimo em função de Q_H e das temperaturas:
    substituindo Q_C = Q_H\frac{T_C}{T_H} em W = Q_H - Q_C obtemos
W_{\min} = Q_H\left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right).
Expliquei passo a passo: primeiro escrevemos balanço de energia; depois usamos a relação reversível entre calores e temperaturas; por fim substituímos para achar W_{\min}.

Passo 3

Converter temperaturas Celsius para Kelvin (fundamental: sempre usar Kelvin nas razões térmicas):
  • Regra: T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Então
T_H = 20^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 5^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 278{,}15\\ \mathrm{K}.
É essencial usar Kelvin porque as fórmulas termodinâmicas relacionam energias a temperaturas absolutas.

Passo 4

Calcular a fração \displaystyle 1-\frac{T_C}{T_H} com os valores em Kelvin:
  • Primeiro calcule a diferença de temperaturas em Kelvin para facilitar a visualização:
T_H - T_C = 293{,}15 - 278{,}15 = 15{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Assim
1-\frac{T_C}{T_H} = \frac{T_H-T_C}{T_H} = \frac{15{,}00}{293{,}15}.
  • Agora calculamos essa razão. Fazer passo a passo: multiplicando e dividindo de modo a manter precisão,
W_{\min} = Q_H\left(\frac{15{,}00}{293{,}15}\right) = 3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ}\times\frac{15{,}00}{293{,}15}.
  • Multiplicando o numerador primeiro:
3\times10^{6}\times 15{,}00 = 45{,}000{,}000.
  • Agora dividimos por 293{,}15:
\frac{45{,}000{,}000}{293{,}15}\approx 153{,}513\\ \mathrm{kJ}.
(Se preferir checar com a relação de COP: \mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}}=\dfrac{1}{1-T_C/T_H}=\dfrac{T_H}{T_H-T_C}\approx \dfrac{293{,}15}{15{,}00}\approx 19{,}543. Então W_{\min}=Q_H/\mathrm{COP}\approx 3\times10^{6}/19{,}543\approx153{,}513\\ \mathrm{kJ}, mesmo resultado.)

Passo 5

Interpretação física e incentivo:
  • Resultado significa que, no melhor caso possível (bomba de calor ideal e reversível), precisamos gastar cerca de 1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{kJ} de trabalho para entregar 3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ} de calor ao interior quando o exterior está a 5^\circ\mathrm{C}.
  • Na prática bombas reais têm COP menores que o Carnot, então o trabalho real será maior que esse mínimo. Mas para uma prova, usar o ciclo reversível/Carnot é o caminho certo para o trabalho mínimo.
  • Bom trabalho! Você já conseguiu extrair e aplicar as fórmulas essenciais — é esse tipo de raciocínio passo a passo que cai na prova.

Resposta

153513\\ \mathrm{kJ}

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