Um dispositivo horizontal cilindro/pistão é colocado em um banho termostático. O êmbolo desliza no cilindro com atrito desprezível, e uma força externa o mantém em posição contra uma pressão inicial do gás de 14 bar. O volume inicial do gás é de 0,03
. A força externa sobre o êmbolo é gradualmente reduzida, permitindo a expansão isotérmica do gás até que seu volume dobre. Se o volume do gás estiver relacionado com a sua pressão de tal forma que o produto
seja constante, qual o trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa? Que quantidade de trabalho seria realizado, se a força externa fosse subitamente reduzida à metade do seu valor inicial em vez de ser gradualmente reduzida?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Termodinâmica juntos! O que a questão está perguntando é sobre o trabalho realizado por um gás durante sua expansão em um cilindro/pistão. A gente precisa entender conceitos como pressão, volume, e como eles se relacionam durante a expansão do gás. Além disso, vamos precisar usar a fórmula do trabalho em processos termodinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Pressão inicial do gás, $ P_1 = 14 $ bar. Como 1 bar = $ 10^5 $ Pa, então $ P_1 = 14 \times 10^5 $ Pa.
- Volume inicial, $ V_1 = 0,03 $ m³.
- O volume final, $ V_2 = 2 \times V_1 = 0,06 $ m³.
- A relação entre pressão e volume é $ PV^t = constante $.
Passo 3
Como o dispositivo está em um banho termostático, a temperatura do gás permanece constante durante a expansão. Isso significa que o processo é isotérmico. Em processos isotérmicos, a relação entre pressão e volume segue a lei de Boyle, ou seja, $ PV = constante $. Portanto, aqui $ t = 1 $.
Passo 4
Para calcular o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão isotérmica, usamos a fórmula:
Mas como não temos a quantidade de substância $ n $ nem a temperatura $ T $, podemos usar a relação $ P_1V_1 = P_2V_2 $ para simplificar a equação.
Passo 5
Sabendo que $ P_1V_1 = P_2V_2 $, podemos encontrar $ P_2 $:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do trabalho para processos isotérmicos:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, para a segunda parte da questão, onde a força externa é subitamente reduzida à metade, o processo não é mais isotérmico. Nesse caso, a pressão externa passa a ser metade da pressão inicial, ou seja, $ P_2 = \frac{P_1}{2} = 7 \times 10^5 , Pa $.
O trabalho realizado nesse processo pode ser calculado como:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa gradualmente é aproximadamente 2910 J. Se a força externa for subitamente reduzida à metade, o trabalho realizado será de 21000 J.