Um tanque para água quente, isolado para o ambiente e aquecido eletricamente, contém 190 kg de água líquida à 60^circ C, quando uma interrupção no fornecimento de energia ocorre. Se a água for retirada do tanque a uma taxa constante de dotm= 0,2 kg / s, em quanto tempo a temperatura da água no tanque irá cair de 60^circ C para 35^circ C ? Admita que água fria seja alimentada no tanque a 10^circ C e que as perdas para o ambiente sejam desprezíveis. Para a água líquida, considere que CP=CV=C, independente de T e P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com 190 kg de água quente a 60°C que para de ser aquecido. A água está sendo retirada a uma taxa constante de 0,2 kg/s, e água fria a 10°C está entrando para substituir. A gente quer descobrir quanto tempo leva para a temperatura da água no tanque cair de 60°C pra 35°C. Vamos usar conceitos de balanço de massa e energia, além das propriedades térmicas da água. Precisaremos entender como a troca de calor ocorre nesse sistema e como configurar uma equação para resolver o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a água no tanque está sendo substituída por água mais fria. Isso significa que a temperatura média da água no tanque vai diminuindo com o tempo. Para modelar isso, vamos usar o balanço de energia, que basicamente diz que a energia total do sistema muda de acordo com o que entra e sai.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis:
  • $ m $ = massa de água no tanque = 190 kg
  • $ \dot{m} $ = taxa de retirada e entrada = 0,2 kg/s
  • $ T(t) $ = temperatura da água no tanque em função do tempo
  • $ T_{entrada} $ = temperatura da água que entra = 10°C
  • $ C $ = capacidade térmica específica da água (constante)

Passo 4

A mudança na energia interna do tanque pode ser expressa pela equação:
m cdot C cdot dTdt = dotm cdot C cdot (Tentrada - T(t))
Aqui, o lado esquerdo representa a variação da energia interna da água no tanque, e o lado direito é a energia trazida pela água fria entrando e tirada pela água quente saindo.

Passo 5

Podemos simplificar a equação cancelando $ C $ dos dois lados:
C
Rearranjando os termos:
m cdot dTdt = dotm cdot (Tentrada - T(t))

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear da forma:
dTdt + aT = b
onde:
a = dotmm e b = dotmm cdot Tentrada
A solução dessa equação é:
T(t) = ba + ( T(0) - ba ) e^-at

Passo 7

Vamos calcular $ a $ e $ b $:
a
b
Então, a solução fica:
a = 0,2190 approx 0,0010526 , s^-1
Simplificando:
b = 0,0010526 times 10 = 0,010526 , °C/s
T(t) = 0,0105260,0010526 + ( 60 - 0,0105260,0010526 ) e^-0,0010526 t

Passo 8

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 35 $°C:
t
Subtraindo 10 de ambos os lados:
T(t) = 35
Dividindo por 50:
35 = 10 + 50 e^-0,0010526 t

Passo 9

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ t $:
t
ln(0,5) = -0,0010526 t
t = ln(0,5)-0,0010526

Resposta

O tempo necessário para a temperatura da água no tanque cair de 60°C para 35°C é de aproximadamente 658 segundos.

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