Um tanque para água quente, isolado para o ambiente e aquecido eletricamente, contém 190 kg de água líquida à
, quando uma interrupção no fornecimento de energia ocorre. Se a água for retirada do tanque a uma taxa constante de
, em quanto tempo a temperatura da água no tanque irá cair de
para
? Admita que água fria seja alimentada no tanque a
e que as perdas para o ambiente sejam desprezíveis. Para a água líquida, considere que
, independente de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com 190 kg de água quente a 60°C que para de ser aquecido. A água está sendo retirada a uma taxa constante de 0,2 kg/s, e água fria a 10°C está entrando para substituir. A gente quer descobrir quanto tempo leva para a temperatura da água no tanque cair de 60°C pra 35°C. Vamos usar conceitos de balanço de massa e energia, além das propriedades térmicas da água. Precisaremos entender como a troca de calor ocorre nesse sistema e como configurar uma equação para resolver o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a água no tanque está sendo substituída por água mais fria. Isso significa que a temperatura média da água no tanque vai diminuindo com o tempo. Para modelar isso, vamos usar o balanço de energia, que basicamente diz que a energia total do sistema muda de acordo com o que entra e sai.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis:
- $ m $ = massa de água no tanque = 190 kg
- $ \dot{m} $ = taxa de retirada e entrada = 0,2 kg/s
- $ T(t) $ = temperatura da água no tanque em função do tempo
- $ T_{entrada} $ = temperatura da água que entra = 10°C
- $ C $ = capacidade térmica específica da água (constante)
Passo 4
A mudança na energia interna do tanque pode ser expressa pela equação:
Aqui, o lado esquerdo representa a variação da energia interna da água no tanque, e o lado direito é a energia trazida pela água fria entrando e tirada pela água quente saindo.
Passo 5
Podemos simplificar a equação cancelando $ C $ dos dois lados:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
onde:
A solução dessa equação é:
Passo 7
Vamos calcular $ a $ e $ b $:
Então, a solução fica:
Simplificando:
Passo 8
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ T(t) = 35 $°C:
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Dividindo por 50:
Passo 9
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para a temperatura da água no tanque cair de 60°C para 35°C é de aproximadamente 658 segundos.