7- Dois sistemas simples estão contidos em um cilindro e são separados por um pistão. Cada subsistema é uma mistura de
de
e
de
, podendo ser tratados como gases ideais. Inicialmente o pistão está no centro do cilindro, cada subsistema ocupando um volume de 10 litros. As paredes do cilindro são diatérmicas e o sistema está em contato com um reservatório térmico à temperatura de
. O pistão é permeável ao hidrogênio, mas impermeável ao nitrogênio. Qual o trabalho necessário para empurrar o pistão até uma posição em que o primeiro subsistema ocupe apenas 5 litros?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois subsistemas (esquerdo e direito) dentro de um cilindro, separados por um pistão.
- Cada subsistema contém
de e de . - Cada subsistema ocupa inicialmente
. Ou seja, volumes iniciais: - Volume total do sistema é constante:
- As paredes do cilindro são diatérmicas e o sistema está em contato com um reservatório a
. Ou seja, a temperatura é mantida constante: - O pistão é permeável ao
(hidrogênio pode passar livremente entre os lados) e impermeável ao (nitrogênio fica preso em cada lado). - O enunciado pede: qual o trabalho necessário para empurrar o pistão até que o primeiro subsistema (lado 1) ocupe apenas
. Ou seja, comprimir o lado 1 de para de forma quasiestática e isotérmica.
Passo 2
Entender fisicamente o que muda quando o pistão se move e o efeito da permeabilidade ao
.
- O nitrogênio (
) é impermeável ao pistão, então o número de mols de em cada lado é fixo: - O hidrogênio (
) pode atravessar o pistão; portanto seus totais se rearranjam entre os lados durante o processo, mantendo-se a igualdade de potencial químico do entre os lados. Em temperatura fixa isso implica igualdade das pressões parciais do em ambos os lados: - A pressão total em cada lado é a soma das pressões parciais:
- Quando calculamos o trabalho que o agente externo precisa fazer para deslocar o pistão, o termo referente ao
cancela porque é o mesmo em ambos os lados; portanto o trabalho depende apenas das pressões dos nitrogênios de cada lado (que mudam com os volumes).
Passo 3
Escrever a expressão diferencial do trabalho necessário para deslocar o pistão e relacioná‑la com as pressões parciais.
- Considere uma variação infinitesimal
no volume do lado 1. Então porque é constante. - O trabalho realizado pelas forças dos gases sobre o pistão durante essa variação é
- O trabalho realizado pelo agente externo (trabalho necessário para empurrar o pistão) é o negativo disso:
- Substituindo
e , o termo se cancela: - Portanto o trabalho total necessário para ir de
a é
Passo 4
Usar a lei dos gases ideais para escrever
em termos de
,
,
e
.
- Para um gás ideal, a pressão parcial do componente
em um lado vale onde é o número de mols de naquele lado, é a constante universal dos gases e a temperatura absoluta. - Aqui
. Substituindo em : - Lembrar que
com . Para trabalhar em unidades SI, converte‑se litros em metros cúbicos:
Passo 5
Fazer a integral para obter
.
- Escrevendo explicitamente:
- Calcule as primitivas:
- Assim
Passo 6
Substituir valores numéricos e calcular.
- Constantes e valores:
- Calcular o argumento do logaritmo:
- Então
- Calcule
: - O logaritmo:
- Finalmente