7- Dois sistemas simples estão contidos em um cilindro e são separados por um pistão. Cada subsistema é uma mistura de 0,5 \mathrm{~mol} de N_{2} e 0,5 \mathrm{~mol} de H_{2}, podendo ser tratados como gases ideais. Inicialmente o pistão está no centro do cilindro, cada subsistema ocupando um volume de 10 litros. As paredes do cilindro são diatérmicas e o sistema está em contato com um reservatório térmico à temperatura de 0^{\circ} C. O pistão é permeável ao hidrogênio, mas impermeável ao nitrogênio. Qual o trabalho necessário para empurrar o pistão até uma posição em que o primeiro subsistema ocupe apenas 5 litros?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois subsistemas (esquerdo e direito) dentro de um cilindro, separados por um pistão.
  • Cada subsistema contém \,0,5\\ \mathrm{mol} de N_{2} e \,0,5\\ \mathrm{mol} de H_{2}.
  • Cada subsistema ocupa inicialmente 10\\ \mathrm{L}. Ou seja, volumes iniciais: V_{1,i}=10\\ \mathrm{L},\qquad V_{2,i}=10\\ \mathrm{L}.
  • Volume total do sistema é constante: V_{\mathrm{tot}}=V_{1}+V_{2}=20\\ \mathrm{L}.
  • As paredes do cilindro são diatérmicas e o sistema está em contato com um reservatório a 0^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a temperatura é mantida constante: T=0^\circ\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}.
  • O pistão é permeável ao H_{2} (hidrogênio pode passar livremente entre os lados) e impermeável ao N_{2} (nitrogênio fica preso em cada lado).
  • O enunciado pede: qual o trabalho necessário para empurrar o pistão até que o primeiro subsistema (lado 1) ocupe apenas 5\\ \mathrm{L}. Ou seja, comprimir o lado 1 de V_{1,i}=10\\ \mathrm{L} para V_{1,f}=5\\ \mathrm{L} de forma quasiestática e isotérmica.

Passo 2

Entender fisicamente o que muda quando o pistão se move e o efeito da permeabilidade ao H_{2}.
  • O nitrogênio ( N_{2}) é impermeável ao pistão, então o número de mols de N_{2} em cada lado é fixo: n_{N,1}=0,5\\ \mathrm{mol},\qquad n_{N,2}=0,5\\ \mathrm{mol}.
  • O hidrogênio ( H_{2}) pode atravessar o pistão; portanto seus 1{,}0\\ \mathrm{mol} totais se rearranjam entre os lados durante o processo, mantendo-se a igualdade de potencial químico do H_{2} entre os lados. Em temperatura fixa isso implica igualdade das pressões parciais do H_{2} em ambos os lados: p_{H,1}=p_{H,2}\equiv p_{H}.
  • A pressão total em cada lado é a soma das pressões parciais: p_{1}=p_{H}+p_{N,1},\qquad p_{2}=p_{H}+p_{N,2}.
  • Quando calculamos o trabalho que o agente externo precisa fazer para deslocar o pistão, o termo referente ao H_{2} cancela porque p_{H} é o mesmo em ambos os lados; portanto o trabalho depende apenas das pressões dos nitrogênios de cada lado (que mudam com os volumes).

Passo 3

Escrever a expressão diferencial do trabalho necessário para deslocar o pistão e relacioná‑la com as pressões parciais.
  • Considere uma variação infinitesimal dV_{1} no volume do lado 1. Então dV_{2}=-dV_{1} porque V_{\mathrm{tot}} é constante.
  • O trabalho realizado pelas forças dos gases sobre o pistão durante essa variação é \delta W_{\text{gases}}=p_{1}\,dV_{1}+p_{2}\,dV_{2}=p_{1}\,dV_{1}-p_{2}\,dV_{1}=(p_{1}-p_{2})\,dV_{1}.
  • O trabalho realizado pelo agente externo (trabalho necessário para empurrar o pistão) é o negativo disso: \delta W_{\text{ext}}=-(p_{1}-p_{2})\,dV_{1}=(p_{2}-p_{1})\,dV_{1}.
  • Substituindo p_{1}=p_{H}+p_{N,1} e p_{2}=p_{H}+p_{N,2}, o termo p_{H} se cancela: \delta W_{\text{ext}}=(p_{N,2}-p_{N,1})\,dV_{1}.
  • Portanto o trabalho total necessário para ir de V_{1,i} a V_{1,f} é W_{\text{ext}}=\int_{V_{1,i}}^{V_{1,f}}(p_{N,2}-p_{N,1})\,dV_{1}.

Passo 4

Usar a lei dos gases ideais para escrever p_{N,i} em termos de n, R, T e V.
  • Para um gás ideal, a pressão parcial do componente N_{2} em um lado vale p_{N,i}=\frac{n_{N,i}RT}{V_{i}},onde n_{N,i} é o número de mols de N_{2} naquele lado, R é a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta.
  • Aqui n_{N,1}=n_{N,2}=n_{N}=0,5\\ \mathrm{mol}. Substituindo em \delta W_{\text{ext}}: \delta W_{\text{ext}}=RT\,n_{N}\!\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)\!dV_{1}.
  • Lembrar que V_{2}=V_{\mathrm{tot}}-V_{1} com V_{\mathrm{tot}}=20\\ \mathrm{L}. Para trabalhar em unidades SI, converte‑se litros em metros cúbicos: 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\quad V_{1,i}=10\\ \mathrm{L}=0,01\\ \mathrm{m^{3}},\quad V_{1,f}=5\\ \mathrm{L}=0,005\\ \mathrm{m^{3}},
V_{\mathrm{tot}}=20\\ \mathrm{L}=0,02\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Fazer a integral para obter W_{\text{ext}}.
  • Escrevendo explicitamente: W_{\text{ext}}=RT\,n_{N}\int_{V_{1,i}}^{V_{1,f}}\left(\frac{1}{V_{\mathrm{tot}}-V_{1}}-\frac{1}{V_{1}}\right)\!dV_{1}.
  • Calcule as primitivas: \int\frac{1}{V_{\mathrm{tot}}-V_{1}}\,dV_{1}=-\ln\!\bigl(V_{\mathrm{tot}}-V_{1}\bigr), \qquad \int\frac{1}{V_{1}}\,dV_{1}=\ln V_{1}.
  • Assim W_{\text{ext}}=RT\,n_{N}\left[-\ln\!\bigl(V_{\mathrm{tot}}-V_{1}\bigr)-\ln V_{1}\right]_{V_{1,i}}^{V_{1,f}}
=RT\,n_{N}\ln\!\left(\frac{(V_{\mathrm{tot}}-V_{1,i})\,V_{1,i}}{(V_{\mathrm{tot}}-V_{1,f})\,V_{1,f}}\right).

Passo 6

Substituir valores numéricos e calcular.
  • Constantes e valores: R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},\quad T=273,15\\ \mathrm{K},\quad n_{N}=0,5\\ \mathrm{mol},
V_{1,i}=0,01\\ \mathrm{m^{3}},\quad V_{1,f}=0,005\\ \mathrm{m^{3}},\quad V_{\mathrm{tot}}=0,02\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular o argumento do logaritmo: (V_{\mathrm{tot}}-V_{1,i})V_{1,i}=0,01\times0,01=1{,}0\times10^{-4},
(V_{\mathrm{tot}}-V_{1,f})V_{1,f}=0,015\times0,005=7{,}5\times10^{-5},
\frac{(V_{\mathrm{tot}}-V_{1,i})V_{1,i}}{(V_{\mathrm{tot}}-V_{1,f})V_{1,f}}=\frac{1{,}0\times10^{-4}}{7{,}5\times10^{-5}}=\frac{4}{3}.
  • Então W_{\text{ext}}=RT\,n_{N}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
  • Calcule RT\,n_{N}: RT=8,314\times273{,}15\approx2271{,}10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},\quad RT\,n_{N}\approx2271{,}10\times0{,}5\approx1135{,}55\\ \mathrm{J}.
  • O logaritmo: \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx0{,}287682.
  • Finalmente W_{\text{ext}}\approx1135{,}55\times0{,}287682\approx326{,}6\\ \mathrm{J}.

Resposta

W\approx326{,}6\\ \mathrm{J}

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