5- O potencial químico de um fluido simples com um único componente é dado pela expressão
em que as funções
e
são bem comportadas. Mostre que este fluido obedece a lei de Boyle,
. Obtenha uma expressão para o calor específico a pressão constante.
Passo 1
O enunciado fornece a expressão do potencial químico por mol (energia livre de Gibbs molar) do fluido:
As informações dadas e o que é pedido:
- Dados:
-
e são funções bem comportadas de . -
é a constante dos gases (constante universal por mol). - A variável
é a pressão e a temperatura.
-
- Perguntas:
- Mostrar que o fluido obedece à lei de Boyle
(ou seja, derivar a equação de estado). - Obter uma expressão para o calor específico a pressão constante (por mol),
.
- Mostrar que o fluido obedece à lei de Boyle
Passo 2
Primeiro, vou relacionar o potencial químico
com grandezas termodinâmicas por mol. Uma relação básica de termodinâmica é:
onde
é o volume molar, isto é
com
volume total e
número de mols. Explicando rápido e direto:
é a energia livre de Gibbs por mol
, e a derivada de
em relação a
a
constante dá justamente o volume molar. Essa é uma relação padrão (pode ser vista a partir de
e
).
Passo 3
Calcule a derivada
a partir da expressão dada para
. Mantendo
constante, só o log depende de
, logo:
Portanto, usando a relação do passo anterior, o volume molar é
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos imediatamente a equação de estado:
Isso é exatamente a lei de Boyle (mais precisamente a equação de estado do gás perfeito por mol), como pedido. Observação amistosa: a dependência logarítmica de
em
é típica de gases ideais e é essa forma que garante que
.
Passo 5
Agora vamos obter
por mol. Para isso usamos as relações termodinâmicas entre
, a entropia molar
e a entalpia molar
:
Outra forma útil, combinando as duas, é
O calor específico a pressão constante por mol é
Passo 6
Calcule
. Da expressão
(escrevendo o log como diferença) temos, tomando derivada em
com
fixo:
Logo a entropia molar é
Passo 7
Agora calcule a entalpia molar
ou use a forma
. Vou usar a segunda forma para ver uma simplificação direta:
Substituindo
e a derivada calculada:
Note que os termos com
se cancelam: isso mostra que
depende apenas de
, não de
. (Isso é coerente com o comportamento de um gás ideal com entalpia dependente só da temperatura.)
Passo 8
Finalmente, o calor específico a pressão constante por mol é a derivada de
em relação a
:
É possível escrever de forma mais compacta observando que
e que
. Assim uma forma alternativa é