Durante as aulas foi mostrado que a partícula numa caixa é um modelo para moléculas com elétrons
conjugados. Mostre que o hexatrieno (que contém 6 elétrons
) tem sua primeira transição eletrônica ocorrendo em
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar, pelo modelo de partícula numa caixa unidimensional, a energia da primeira transição eletrônica do hexatrieno, que tem seis elétrons π. Usaremos a fórmula dos níveis de energia para uma partícula livre numa caixa de comprimento
e identificaremos a transição HOMO→LUMO.
Passo 2
No modelo de partícula numa caixa, cada elétron ocupa um nível quântico
. Como há seis elétrons π, eles se distribuem ocupando os três menores níveis (
, dois elétrons em cada). A primeira transição permitida é do nível
(HOMO) para
(LUMO).
Passo 3
A energia do nível
no modelo é
onde
é a constante de Planck,
a massa do elétron e
o comprimento da “caixa”. A diferença de energia entre
e
é
Passo 4
Para converter
em número de onda
(em
), usamos
onde
é a velocidade da luz.
Passo 5
Estimamos
como o comprimento da cadeia conjugada. Cada ligação C–C tem cerca de
,\AA\ e há cinco ligações entre os seis carbonos, mais meia ligação em cada extremidade dá
Substituindo
obtém-se
Convertendo para
(dividindo por
) dá
Passo 6
O valor encontrado,
, está muito próximo do valor experimental de
. Isso mostra que o modelo de partícula na caixa, apesar de simples, capta bem a ordem de grandeza da primeira transição eletrônica do hexatrieno.
Resposta
A primeira transição eletrônica do hexatrieno ocorre em aproximadamente
, em acordo com o modelo de partícula numa caixa.