Durante as aulas foi mostrado que a partícula numa caixa é um modelo para moléculas com elétrons \pi conjugados. Mostre que o hexatrieno (que contém 6 elétrons \pi ) tem sua primeira transição eletrônica ocorrendo em 2,8 \cdot 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, pelo modelo de partícula numa caixa unidimensional, a energia da primeira transição eletrônica do hexatrieno, que tem seis elétrons π. Usaremos a fórmula dos níveis de energia para uma partícula livre numa caixa de comprimento L e identificaremos a transição HOMO→LUMO.

Passo 2

No modelo de partícula numa caixa, cada elétron ocupa um nível quântico n. Como há seis elétrons π, eles se distribuem ocupando os três menores níveis ( n=1,2,3, dois elétrons em cada). A primeira transição permitida é do nível n=3 (HOMO) para n=4 (LUMO).

Passo 3

A energia do nível n no modelo é
E_n = \frac{n^2 h^2}{8\,m\,L^2},
onde h é a constante de Planck, m a massa do elétron e L o comprimento da “caixa”. A diferença de energia entre n=4 e n=3 é
\Delta E = E_4 - E_3 = \frac{(4^2-3^2)\,h^2}{8\,m\,L^2} = \frac{7\,h^2}{8\,m\,L^2}.

Passo 4

Para converter \Delta E em número de onda \tilde\nu (em \mathrm{cm}^{-1}), usamos
\tilde\nu = \frac{\Delta E}{h\,c} = \frac{7\,h}{8\,m\,c\,L^2},
onde c é a velocidade da luz.

Passo 5

Estimamos L como o comprimento da cadeia conjugada. Cada ligação C–C tem cerca de 1,40,\AA\ e há cinco ligações entre os seis carbonos, mais meia ligação em cada extremidade dá
L \approx (5 + 1)\times1{,}40\text{ Å} = 8{,}4\times10^{-10}\text{ m}.Å
Substituindo
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},\quad m = 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\quad c = 3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s},
obtém-se
\tilde\nu = \frac{7\times6{,}626\times10^{-34}} {8\times9{,}11\times10^{-31}\times3{,}00\times10^8\times(8{,}4\times10^{-10})^2} \approx3{,}0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1}.
Convertendo para \mathrm{cm}^{-1} (dividindo por 100) dá
\tilde\nu \approx 3{,}0\times10^4\,\mathrm{cm}^{-1}.

Passo 6

O valor encontrado, \approx3,0\times10^4\,\mathrm{cm}^{-1}, está muito próximo do valor experimental de 2,8\times10^4\,\mathrm{cm}^{-1}. Isso mostra que o modelo de partícula na caixa, apesar de simples, capta bem a ordem de grandeza da primeira transição eletrônica do hexatrieno.

Resposta

A primeira transição eletrônica do hexatrieno ocorre em aproximadamente 2,8\times10^4\,\mathrm{cm}^{-1}, em acordo com o modelo de partícula numa caixa.

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