Mostre que
é uma auto-função do operador
. Qual é o auto-valor? Considere
uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é auto-função do operador de derivada de ordem
, ou seja, que ao aplicarmos
em
obtemos um múltiplo escalar da própria função. O múltiplo escalar é o auto-valor que precisamos encontrar.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão. A primeira derivada de
é
A segunda derivada é
Passo 3
Supondo por indução que a
-ésima derivada seja
a derivada de ordem
fica
Logo, por indução, a fórmula vale para todo
.
Passo 4
Em particular, para
temos
Isso mostra que
é auto-função do operador
e que o auto-valor associado é
.
Resposta
O auto-valor é
.