Mostre que e^{\alpha x} é uma auto-função do operador \frac{d^{n}}{d x^{n}}. Qual é o auto-valor? Considere \alpha uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função \exp(\alpha x) é auto-função do operador de derivada de ordem n, ou seja, que ao aplicarmos \frac{d^n}{dx^n} em \exp(\alpha x) obtemos um múltiplo escalar da própria função. O múltiplo escalar é o auto-valor que precisamos encontrar.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão. A primeira derivada de \exp(\alpha x) é
\frac{d}{dx}e^{\alpha x} =\alpha\,e^{\alpha x}.
A segunda derivada é
\frac{d^2}{dx^2}e^{\alpha x} =\frac{d}{dx}\bigl(\alpha\,e^{\alpha x}\bigr) =\alpha\;\frac{d}{dx}e^{\alpha x} =\alpha\cdot\alpha\,e^{\alpha x} =\alpha^2\,e^{\alpha x}.

Passo 3

Supondo por indução que a k-ésima derivada seja
\frac{d^k}{dx^k}e^{\alpha x}=\alpha^k\,e^{\alpha x},
a derivada de ordem k+1 fica
\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}e^{\alpha x} =\frac{d}{dx}\Bigl(\alpha^k\,e^{\alpha x}\Bigr) =\alpha^k\;\frac{d}{dx}e^{\alpha x} =\alpha^k\cdot\alpha\,e^{\alpha x} =\alpha^{k+1}\,e^{\alpha x}.
Logo, por indução, a fórmula vale para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 4

Em particular, para k=n temos
\frac{d^n}{dx^n}e^{\alpha x} =\alpha^n\,e^{\alpha x}.
Isso mostra que e^{\alpha x} é auto-função do operador \frac{d^n}{dx^n} e que o auto-valor associado é \alpha^n.

Resposta

O auto-valor é \alpha^n.

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