Mostre que e^{i k x} é uma auto-função do operador \hat{P}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}. Qual é o auto-valor? Considere k uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \exp(i k x) é uma auto-função do operador de momento unidimensional
\hat P = -\,i \hbar \frac{\partial}{\partial x}
e determinar o auto-valor correspondente. O conteúdo envolve operadores lineares e derivadas em mecânica quântica, em especial a relação \hat P \psi = p\,\psi.

Passo 2

Calculamos a ação de \hat P sobre \psi(x)=\exp(i k x). Primeiro, a derivada é
\frac{\partial}{\partial x}\exp(i k x) = i k\,\exp(i k x).
Em seguida, aplicando o operador,
\hat P\,\psi(x) = -\,i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\exp(i k x) = -\,i \hbar \bigl(i k\,\exp(i k x)\bigr).
Como
-\,i \hbar \,i k = \hbar k,
segue que
\hat P\,\exp(i k x) = \hbar k\,\exp(i k x).

Passo 3

Vê-se que a aplicação de \hat P sobre \exp(i k x) devolve a própria função multiplicada por \hbar k. Isso prova que \exp(i k x) é auto-função de \hat P.

Resposta

O auto-valor correspondente é \hbar k.

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