Uma empresa está analisando o tempo de vida útil de um componente eletrônico. A confiabilidade desse componente é modelada pela seguinte função:
R(t)=1(0.002 t+1)^2
onde t representa o tempo em horas. Determine:
  • O Tempo Médio de Falha (MTTF) utilizando a relação:
M T T F=integral0^infty R(t) d t
Resposta: MTTF =500 h
(Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a confiabilidade do componente eletrônico é
R(t)=1(0.002,t+1)^2,,
onde MTTF=integral0^inftyR(t),dt, é o tempo em horas, e pede o Tempo Médio de Falha (MTTF), dado por
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais impróprias e uso de substituição simples para resolver a integral de uma função do tipo . Vamos precisar lembrar como se calcula uma integral indefinida desse tipo e depois aplicar os limites de a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que a gente precisa resolver:
MTTF=integral0^infty1(0.002,t+1)^2,dt,
Para resolver, usamos a técnica de substituição. A ideia é trocar a expressão por uma nova variável, tornando a integral mais direta.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = 0.002,t + 1 Longrightarrow du = 0.002,dt Longrightarrow dt = du0.002
Além disso, quando integralt=0^t=infty1(0.002,t+1)^2,dt =integralu=1^u=infty1u^2cdotdu0.002 =10.002integral1^inftyu^-2,du , temos ; e quando , . Então a integral vira:

Passo 4

Agora integramos integral u^-2,du = integral u^-2,du = -,u^-1 + C = -1u+C . Lembrando que
integral1^inftyu^-2,du =l[-1ur]1^infty =l(0 - l(-tfrac11r)r) =1
Então
MTTF = 10.002times 1 = 500
Multiplicando pelo fator :

Resposta

O Tempo Médio de Falha (MTTF) desse componente é
boxed500 horas

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