Considere que um certo tipo de bomba possui a seguinte taxa de falha:
h(t)=0.5 t
onde t é medido em anos.
  • Determine o tempo de operação para uma confiabilidade de 90%.
  • Calcule a confiabilidade condicional considerando um período de burn-in de 1 mês apenas (0.083 ano).
  • (Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a taxa de falha (hazard) de uma bomba é
h(t)=0.5,t,, t em anos
Precisamos de dois cálculos:
1) Achar o tempo t para que a confiabilidade seja 90%.
2) Calcular a confiabilidade condicional considerando que a bomba já passou por um “burn‐in” de 0.083 ano (1 mês).
Conteúdo: teoria de confiabilidade, função de hazard, integral para achar a função de sobrevivência (confiabilidade) e relacionamento de confiabilidade condicional.

Passo 2

Antes de resolver, vamos lembrar a teoria básica.
  • A confiabilidade (função de sobrevivência) é R(t)=P(T>t)=expl(-integral0^th(u),dur),
    - Aqui temos h(u)=0.5,u, então precisamos calcular
    integral0^t0.5,u,du,
Vamos fazer a integral:
integral0^t0.5,u,du=0.5cdotu^22|0^t=0.52,t^2=0.25,t^2,
Logo,
R(t)=expl(-0.25,t^2r),

Passo 3

Agora achamos o t que faz R(t)=0.9:
expl(-0.25,t^2r)=0.9 Longrightarrow -0.25,t^2=ln(0.9),
Então
t^2=-4,ln(0.9),, t=raiz-4ln(0.9),
Calculando numericamente (sabendo que ln(0.9)approx -0.10536):
tapproxraiz-4times(-0.10536)=raiz0.42144approx0.6492 ano

Passo 4

Agora a confiabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de sobreviver até t dado que a bomba já passou por t0=0.083 ano. A fórmula é
R(tmid T>t0)=R(t)R(t0),
A gente já tem R(t)=e^-0.25,t^2 e
R(t0)=expl(-0.25,t0^2r)=expl(-0.25times0.083^2r)approxexp(-0.001722)approx0.99828,
Então
R(0.6492mid T>0.083)=0.90.99828approx0.9016,

Resposta

Tempo para 90% de confiabilidade: tapprox0.6492 anos
Confiabilidade condicional (após 1 mês): approx0.9016

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