Considere que um certo tipo de bomba possui a seguinte taxa de falha:
onde é medido em anos.
Determine o tempo de operação para uma confiabilidade de .
Calcule a confiabilidade condicional considerando um período de burn-in de 1 mês apenas (0.083 ano).
(Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a taxa de falha (hazard) de uma bomba é
Precisamos de dois cálculos:
1) Achar o tempo para que a confiabilidade seja 90%.
2) Calcular a confiabilidade condicional considerando que a bomba já passou por um “burn‐in” de 0.083 ano (1 mês).
Conteúdo: teoria de confiabilidade, função de hazard, integral para achar a função de sobrevivência (confiabilidade) e relacionamento de confiabilidade condicional.
Passo 2
Antes de resolver, vamos lembrar a teoria básica.
A confiabilidade (função de sobrevivência) é
- Aqui temos , então precisamos calcular
Vamos fazer a integral:
Logo, R(t)=expl(-0.25,t^2r),
Passo 3
Agora achamos o t que faz R(t)=0.9:
expl(-0.25,t^2r)=0.9 Longrightarrow -0.25,t^2=ln(0.9),
Então t^2=-4,ln(0.9),, t=raiz-4ln(0.9),
Calculando numericamente (sabendo que ln(0.9)approx -0.10536):
tapproxraiz-4times(-0.10536)=raiz0.42144approx0.6492 ano
Passo 4
Agora a confiabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de sobreviver até t dado que a bomba já passou por t0=0.083 ano. A fórmula é
R(tmid T>t0)=R(t)R(t0),
A gente já tem R(t)=e^-0.25,t^2 e R(t0)=expl(-0.25,t0^2r)=expl(-0.25times0.083^2r)approxexp(-0.001722)approx0.99828,
Então
R(0.6492mid T>0.083)=0.90.99828approx0.9016,
Resposta
Tempo para 90% de confiabilidade: tapprox0.6492 anos
Confiabilidade condicional (após 1 mês): approx0.9016