Um fabricante de lâmpadas deseja modelar a confiabilidade de um novo modelo de lâmpada. Sabendo que as lâmpadas seguem um modelo de falha exponencial com uma vida média de theta=4000 horas. Determine o tempo necessário para que a confiabilidade das lâmpadas caia para 40% (R(t)=0,40).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vida das lâmpadas segue uma lei de falha exponencial com vida média horas. Queremos achar o tempo em que a confiabilidade (ou seja, a probabilidade de a lâmpada ainda estar funcionando) cai para 40%, isto é, .
Conteúdo: distribuição exponencial, função confiabilidade e uso de logaritmo natural para isolar .

Passo 2

Vamos lembrar a teoria básica. Para falha exponencial, a função confiabilidade é
R(t) ;=; e^-t/theta,
onde é a vida média. Aqui, . A ideia é “inverter” essa fórmula para achar quando estiver dado.

Passo 3

Isolando R(t) ;=; e^-t/theta em lnl(R(t)r) ;=; lnl(e^-t/thetar) :
  1. Começamos com
lnl(R(t)r) = -tfracttheta
  1. Aplicamos logaritmo natural dos dois lados:
t = -,theta ,lnl(R(t)r)
  1. Como , isso vira
  1. Então

Passo 4

Agora é só colocar t = -,4000 ;ln(0,40) e t approx -,4000 times (-0,916291) = 4000 times 0,916291 approx 3665,16 :
Calculemos . Sabendo que , temos
horas.

Resposta

O tempo para a confiabilidade cair a 40% é aproximadamente
boxed3665,16 horas

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