Um engenheiro precisa projetar um tanque cúbico rígido (aço inox) com capacidade para armazenar 3 toneladas de água no estado de líquido saturado a
(o tanque deverá conter apenas líquido saturado). Posteriormente o tanque deverá ser aquecido até que a pressão no interior do mesmo atinja o valor de
. Qual o tamanho da diagonal do tanque projetado? E qual a temperatura final do tanque após o mesmo atingir a pressão de 5 Mpa ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Qual o tamanho da diagonal de um tanque cúbico rígido (aço inox) que deve conter somente líquido saturado de água com massa
toneladas (ou seja, kg) à temperatura inicial de . - Qual a temperatura final do líquido quando o tanque, mantendo-se rígido (volume fixo), for aquecido até que a pressão interna atinja
.
Informações dadas/necessárias (listas):
- Massa da água:
. - Estado inicial: líquido saturado à
(então o específico de volume é o do líquido saturado em ). - Pressão final desejada:
. - O tanque é cúbico e rígido, logo o volume total
é fixo e igual a , onde é o volume específico do líquido. - Precisaremos do volume específico do líquido saturado a
(valor obtido em tabela de vapor/água); e de propriedades aproximadas do líquido (coeficiente de expansão volumétrica e compressibilidade) para estimar a variação de temperatura necessária quando a pressão aumentar mantendo o volume constante.
Passo 2
Obter o volume específico do líquido saturado à
.
Explicação curta da grandeza: o volume específico
é o volume por unidade de massa (unidade
). Para água saturada usamos tabelas de vapor/água; o valor do volume específico do líquido saturado a
é, pelas tabelas:
(Comentário: este valor foi retirado das tabelas de água saturada — em provas é comum consultar a tabela para obter
.)
Calcular o volume total do líquido no tanque:
Passo 3
Encontrar o lado
do cubo a partir do volume
.
Relação geométrica: o volume de um cubo de lado
é
. Logo
Substituindo o
calculado:
Cálculo numérico (passos):
e
, portanto
Passo 4
Calcular a diagonal do cubo.
Fórmula da diagonal espacial (que liga dois vértices opostos) de um cubo de lado
:
Substituindo
:
Como
,
Passo 5
Entender o que acontece termodinamicamente ao aquecer o tanque rígido contendo só líquido.
Conceito físico: o tanque é rígido (volume fixo) e contém apenas líquido; ao aquecer, a temperatura e a pressão do líquido mudam, mas o volume e a massa permanecem constantes. Como resultado, o volume específico
permanece constante:
Queremos a temperatura final
tal que, no estado comprimido a
, o volume específico seja igual ao inicial.
Para líquidos comprimidos, podemos usar a linearização diferencial da variação do volume específico:
Definições úteis:
- coeficiente de expansão volumétrica
, tal que ; - compressibilidade isotérmica
, tal que .
Substituindo e impondo
(volume específico constante):
Assim, para uma variação finita aproximada:
onde
.
Passo 6
Avaliar os termos numéricos para
.
Preciso do
a
: da tabela de vapor saturado
Logo
Agora precisamos de valores razoáveis para
e
do líquido água na vizinhança de
. Esses são parâmetros que aparecem em tabelas ou textos; valores típicos aproximados para água nessa faixa são:
(Comentário: são valores aproximados para água líquida quente; a compressibilidade é pequena e a expansão volumétrica também é pequena, razão pela qual uma grande variação de pressão corresponde a uma pequena variação de temperatura.)
Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
Portanto a temperatura final estimada é
Passo 7
Interpretação, verificação e comentários sobre aproximações.
- O resultado mostra que, mesmo elevando a pressão até
, a temperatura do líquido sobe apenas alguns graus porque o líquido é pouco compressível: para manter o volume constante a elevação de pressão é compensada por um pequeno aumento de temperatura que expande ligeiramente o líquido. - O estado final é um líquido comprimido (sub-resfriado) porque a temperatura final
é muito menor que a temperatura de saturação à (que é cerca de ), então não há vaporização. - Observação sobre precisão: usei aproximações lineares e valores típicos para
e . Se for necessária maior precisão, deve-se consultar tabelas de água comprimida (tabelas de propriedades para líquidos comprimidos) ou usar equações de estado precisas; o valor obtido ( ) é uma estimativa confiável para engenharia e o valor da diagonal é preciso dado o da tabela.
Resposta
Diagonal do tanque:
Temperatura final aproximada:
Temperatura final aproximada: