Um engenheiro precisa projetar um tanque cúbico rígido (aço inox) com capacidade para armazenar 3 toneladas de água no estado de líquido saturado a 150^{\circ} \mathrm{C} (o tanque deverá conter apenas líquido saturado). Posteriormente o tanque deverá ser aquecido até que a pressão no interior do mesmo atinja o valor de \mathrm{P}=5 \mathrm{Mpa}. Qual o tamanho da diagonal do tanque projetado? E qual a temperatura final do tanque após o mesmo atingir a pressão de 5 Mpa ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Qual o tamanho da diagonal de um tanque cúbico rígido (aço inox) que deve conter somente líquido saturado de água com massa 3 toneladas (ou seja, 3000 kg) à temperatura inicial de 150^\circ\mathrm{C}.
  • Qual a temperatura final do líquido quando o tanque, mantendo-se rígido (volume fixo), for aquecido até que a pressão interna atinja P=5\\ \mathrm{MPa}.
Informações dadas/necessárias (listas):
  • Massa da água: m = 3000\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: líquido saturado à 150^\circ\mathrm{C} (então o específico de volume é o do líquido saturado em 150^\circ\mathrm{C}).
  • Pressão final desejada: P_2 = 5\\ \mathrm{MPa}.
  • O tanque é cúbico e rígido, logo o volume total V é fixo e igual a V = m \, v, onde v é o volume específico do líquido.
  • Precisaremos do volume específico do líquido saturado a 150^\circ\mathrm{C} (valor obtido em tabela de vapor/água); e de propriedades aproximadas do líquido (coeficiente de expansão volumétrica e compressibilidade) para estimar a variação de temperatura necessária quando a pressão aumentar mantendo o volume constante.

Passo 2

Obter o volume específico do líquido saturado à 150^\circ\mathrm{C}.
Explicação curta da grandeza: o volume específico v é o volume por unidade de massa (unidade \mathrm{m^3/kg}). Para água saturada usamos tabelas de vapor/água; o valor do volume específico do líquido saturado a 150^\circ\mathrm{C} é, pelas tabelas:
v_{f,150^\circ\mathrm{C}} = 0,001091\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Comentário: este valor foi retirado das tabelas de água saturada — em provas é comum consultar a tabela para obter v_f.)
Calcular o volume total do líquido no tanque:
V \;=\; m\,v_{f,150^\circ\mathrm{C}} \;=\; 3000\cdot 0,001091\\ \mathrm{m^3} \;=\; 3,273\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Encontrar o lado a do cubo a partir do volume V.
Relação geométrica: o volume de um cubo de lado a é V = a^3. Logo
a \;=\; V^{1/3}.
Substituindo o V calculado:
a \;=\; \left(3,273\right)^{1/3}\\ \mathrm{m}.
Cálculo numérico (passos): 1,487^3 \approx 3,283 e 1,486^3 \approx 3,274, portanto
a \approx 1,487\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a diagonal do cubo.
Fórmula da diagonal espacial (que liga dois vértices opostos) de um cubo de lado a:
d \;=\; a\sqrt{3}.
Substituindo a:
d \;=\; 1,487\cdot\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Como \sqrt{3}\approx 1,732,
d \approx 1,487\cdot 1,732 \approx 2,576\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Entender o que acontece termodinamicamente ao aquecer o tanque rígido contendo só líquido.
Conceito físico: o tanque é rígido (volume fixo) e contém apenas líquido; ao aquecer, a temperatura e a pressão do líquido mudam, mas o volume e a massa permanecem constantes. Como resultado, o volume específico v permanece constante:
v_2 = v_1 = v_{f,150^\circ\mathrm{C}}.
Queremos a temperatura final T_2 tal que, no estado comprimido a P_2=5\\ \mathrm{MPa}, o volume específico seja igual ao inicial.
Para líquidos comprimidos, podemos usar a linearização diferencial da variação do volume específico:
\mathrm{d}v \;=\; \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T \;+\; \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T \mathrm{d}P.
Definições úteis:
  • coeficiente de expansão volumétrica \beta, tal que \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_P = v\beta;
  • compressibilidade isotérmica \kappa_T, tal que \left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_T = -v\kappa_T.
Substituindo e impondo \mathrm{d}v=0 (volume específico constante):
0 = v\beta\,\mathrm{d}T - v\kappa_T\,\mathrm{d}P \quad\Rightarrow\quad \beta\,\mathrm{d}T = \kappa_T\,\mathrm{d}P.
Assim, para uma variação finita aproximada:
\Delta T \approx \frac{\kappa_T}{\beta}\,\Delta P,
onde \Delta P = P_2 - P_{sat}(150^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Avaliar os termos numéricos para \Delta T.
Preciso do P_{sat} a 150^\circ\mathrm{C}: da tabela de vapor saturado
P_{sat}(150^\circ\mathrm{C}) \approx 0,4762\\ \mathrm{MPa}.
Logo
\Delta P = 5,0000\\ \mathrm{MPa} - 0,4762\\ \mathrm{MPa} = 4,5238\\ \mathrm{MPa} = 4{,}5238\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Agora precisamos de valores razoáveis para \beta e \kappa_T do líquido água na vizinhança de 150^\circ\mathrm{C}. Esses são parâmetros que aparecem em tabelas ou textos; valores típicos aproximados para água nessa faixa são:
\beta \approx 7{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \kappa_T \approx 4{,}5\times 10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}}.
(Comentário: são valores aproximados para água líquida quente; a compressibilidade é pequena e a expansão volumétrica também é pequena, razão pela qual uma grande variação de pressão corresponde a uma pequena variação de temperatura.)
Aplicando a fórmula:
\Delta T \approx \frac{\kappa_T}{\beta}\,\Delta P = \frac{4{,}5\times 10^{-10}}{7{,}5\times 10^{-4}}\cdot 4{,}5238\times 10^{6}.
Calcule passo a passo:
\frac{\kappa_T}{\beta} = \frac{4{,}5\times 10^{-10}}{7{,}5\times 10^{-4}} = 6{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{Pa^{-1}K},
\Delta T \approx 6{,}0\times 10^{-7}\cdot 4{,}5238\times 10^{6} \approx 2{,}71\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final estimada é
T_2 \approx 150^\circ\mathrm{C} + 2{,}71^\circ\mathrm{C} \approx 152{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação, verificação e comentários sobre aproximações.
  • O resultado mostra que, mesmo elevando a pressão até 5\\ \mathrm{MPa}, a temperatura do líquido sobe apenas alguns graus porque o líquido é pouco compressível: para manter o volume constante a elevação de pressão é compensada por um pequeno aumento de temperatura que expande ligeiramente o líquido.
  • O estado final é um líquido comprimido (sub-resfriado) porque a temperatura final 152{,}7^\circ\mathrm{C} é muito menor que a temperatura de saturação à 5\\ \mathrm{MPa} (que é cerca de 263{,}99^\circ\mathrm{C}), então não há vaporização.
  • Observação sobre precisão: usei aproximações lineares e valores típicos para \beta e \kappa_T. Se for necessária maior precisão, deve-se consultar tabelas de água comprimida (tabelas de propriedades para líquidos comprimidos) ou usar equações de estado precisas; o valor obtido ( \sim 152{,}7^\circ\mathrm{C}) é uma estimativa confiável para engenharia e o valor da diagonal é preciso dado o v_f da tabela.

Resposta

Diagonal do tanque: 2,576\\ \mathrm{m}
Temperatura final aproximada: 152,7^\circ\mathrm{C}

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