Por que o ensemble canônico é amplamente utilizado para sistemas em contato térmico com um reservatório?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o ensemble canônico é a escolha natural para descrever um sistema que está em contato térmico com um reservatório. O conteúdo envolvido é mecânica estatística e termodinâmica: vamos usar a noção de troca de energia entre sistema e reservatório, o conceito de probabilidade de Boltzmann e a função de partição para justificar essa escolha.

Passo 2

Considere um sistema S de energia E e um reservatório térmico R de energia E_{\mathrm{tot}}-E, de modo que o conjunto S+R é isolado com energia total fixa E_{\mathrm{tot}}. As hipóteses são:
  1. O reservatório é muito grande, de modo que sua temperatura T permanece essencialmente constante mesmo quando S troca energia.
  2. As únicas trocas permitidas entre S e R são de energia (não há troca de partículas nem de volume).

Passo 3

Na abordagem microcanônica, cada microestado conjunto S+R tem probabilidade igual. A probabilidade de o sistema S estar no microestado i de energia E_i é proporcional ao número de microestados disponíveis ao reservatório com energia E_{\mathrm{tot}}-E_i, ou seja,
P(i)\propto \Omega_R\bigl(E_{\mathrm{tot}}-E_i\bigr).
Como R é grande, fazemos a expansão de Taylor da entropia S_R(E_R)=k_B\ln\Omega_R(E_R) em torno de E_{\mathrm{tot}}:
S_R(E_{\mathrm{tot}}-E_i)\approx S_R(E_{\mathrm{tot}})-\frac{E_i}{T}.
Logo,
\Omega_R(E_{\mathrm{tot}}-E_i) =\exp\!\bigl[S_R(E_{\mathrm{tot}}-E_i)/k_B\bigr] \propto e^{-E_i/(k_BT)}.

Passo 4

Normalizando em todos os microestados de S, obtemos a distribuição canônica de Boltzmann:
P(i)=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z}, \quad \beta=\frac{1}{k_B T}, \quad Z=\sum_{j}e^{-\beta E_j}.
Aqui Z é a função de partição, que garante \sum_iP(i)=1.

Passo 5

A função de partição Z é central porque, a partir dela, podemos calcular diretamente as grandezas termodinâmicas:
F=-k_B T\ln Z,\quad U=\langle E\rangle=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta},\quad C = \frac{\partial U}{\partial T},\;\dots
Isso torna o ensemble canônico particularmente conveniente para análises práticas e para comparação com experimentos a temperatura fixa.

Passo 6

Em resumo, o ensemble canônico é amplamente usado porque:
  1. Descreve corretamente a situação física de um sistema que troca energia com um reservatório a temperatura fixa.
  2. Gera a distribuição de Boltzmann, que explica a probabilidade de ocupação de estados de energia.
  3. Fornece uma função de partição Z que facilita o cálculo de todas as propriedades termodinâmicas do sistema.

Resposta

O ensemble canônico é o mais apropriado para sistemas em contato térmico porque ele incorpora naturalmente as flutuações de energia do sistema mantendo a temperatura constante, leva à distribuição de Boltzmann P(i)\propto e^{-E_i/(k_BT)} e dispõe da função de partição Z, que simplifica a obtenção de todas as grandezas termodinâmicas em função de T.

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