Como se obtém a temperatura a partir da entropia no ensemble microcanônico?

Passo 1

O enunciado quer saber como extrair a temperatura de um sistema isolado descrito pelo ensemble microcanônico, em que a entropia S é função da energia E (com volume V e número de partículas N fixos). Vamos usar a relação termodinâmica fundamental que envolve dS e dE.

Passo 2

Na termodinâmica temos a primeira lei combinada com a definição de entropia, que dá a diferencial
dS = \frac{1}{T}\,dE + \frac{p}{T}\,dV - \frac{\mu}{T}\,dN
onde T é a temperatura, p a pressão e \mu o potencial químico.

Passo 3

No ensemble microcanônico o sistema é isolado em energia, volume e número de partículas, logo dV=0 e dN=0. Assim sobra
dS = \frac{1}{T}\,dE \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial S}{\partial E}\Bigr)_{V,N} = \frac{1}{T}.

Passo 4

Invertendo essa relação obtemos a temperatura em função da entropia e da energia:
T = \Bigl(\frac{\partial S}{\partial E}\Bigr)_{V,N}^{-1}.
Se quisermos usar a expressão estatística S = k_B \ln \Omega(E), temos
\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} = k_B \,\frac{1}{\Omega(E)}\,\frac{d\Omega}{dE} = k_B\,\frac{d}{dE}\ln \Omega(E).

Resposta

T = \Bigl(\tfrac{\partial S}{\partial E}\Bigr)_{V,N}^{-1}.

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