3- Ar entra no compressor de uma turbina a gás, simples a 100 \mathrm{kPa}, 300 \mathrm{~K} e com uma vazão volumétrica de 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A taxa de compressão é igual a 10 e sua eficiência isentrópica é 85 \%. Na entrada da turbina, a pressão é de 950 kPa e a temperatura é de 1400 K. A turbina possui uma eficiência de isentrópica de 88 \% e uma pressão na saída de 100 kPa . Tomando como base uma análise de ar padrão. Determine: (a) a eficiência térmica do ciclo, (b) a razão de trabalho reverso, e (c) a potência líquida desenvolvida, em kW

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados do problema:
\begin{aligned} &\text{Ar na entrada do compressor: } p_1=100\\ \mathrm{kPa},\; T_1=300\\ \mathrm{K},\; \dot V_1=5\\ \mathrm{m^3/s}.\\\ &\text{Razão de compressão do compressor: } \pi_c=\frac{p_2}{p_1}=10.\\\ &\text{Eficiência isentrópica do compressor: } \eta_{c}=85\%=0,85.\\\ &\text{Na entrada da turbina: } p_3=950\\ \mathrm{kPa},\; T_3=1400\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Eficiência isentrópica da turbina: } \eta_{t}=88\%=0,88.\\\ &\text{Saída da turbina: } p_4=100\\ \mathrm{kPa}.\\\ &\text{Usar análise de ar padrão (gás ideal com calor específico constante).} \end{aligned}ããêóêóíáãáí
O que se pede:
(a) a eficiência térmica do ciclo \eta_{térmica}é;\n
(b) a razão de trabalho reverso (interpreto como a razão entre o trabalho líquido reversível/isentrópico e o trabalho líquido real do ciclo);\n
(c) a potência líquida desenvolvida (em kW).
Observações que vou usar sem perguntar: adoto propriedades constantes para o ar padrão:
c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad k=\gamma=1{,}4,\quad R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Calcular a vazão mássica de ar \dot m a partir da vazão volumétrica na entrada do compressor usando a equação dos gases ideais. Fórmula e explicação: a equação dos gases ideais em forma adequada para vazão é
\dot m=\frac{\dot V\, p}{R\, T},
onde \dot V é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}), p é a pressão absoluta ( \mathrm{kPa}), R é a constante específica do gás ( \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}), e T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}). Substituindo:
\dot m=\frac{5\cdot 100}{0{,}287\cdot 300}=\frac{500}{86{,}1}\approx 5{,}807\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: chegam cerca de 5{,}807\\ \mathrm{kg} de ar por segundo ao compressor.

Passo 3

Compressor — encontrar a temperatura de descarga real T_2.
  1. Primeiro explique a relação isentrópica (ideal): para compressão isentrópica de gás ideal com \gamma constante,
T_{2s}=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{0{,}4}{1{,}4}\approx 0{,}285714. Como \pi_c=10,
T_{2s}=300\cdot 10^{0{,}285714}\approx 579{,}2\\ \mathrm{K}.
Explicação didática: T_{2s} é a temperatura que teria o ar na saída do compressor se a compressão fosse ideal (isentrópica), sem perdas irreversíveis.
  1. A eficiência isentrópica do compressor \eta_c relaciona o trabalho isentrópico com o trabalho real:
\eta_c=\frac{w_{s}}{w_{real}}=\frac{c_p (T_{2s}-T_1)}{c_p (T_2-T_1)} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
Substituindo números:
T_2=300+\frac{579{,}2-300}{0{,}85}=300+\frac{279{,}2}{0{,}85}\approx 628{,}5\\ \mathrm{K}.
  1. Trabalho específico (por kg) consumido no compressor:
w_c=c_p (T_2-T_1)=1{,}005\cdot(628{,}5-300)\approx 330{,}13\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Potência consumida pelo compressor:
\dot W_c=\dot m\, w_c \approx 5{,}807\cdot 330{,}13 \approx 1918{,}7\\ \mathrm{kW}.
Comentários: expliquei a fórmula da eficiência isentrópica: é a razão entre o trabalho mínimo teoricamente necessário (isentrópico) e o trabalho realmente gasto; como o compressor não é perfeito, a temperatura final real é maior que a isentrópica.

Passo 4

Efeito da queda de pressão entre compressor e combustor; calor adicionado no combustor.
No enunciado a pressão na entrada da turbina é p_3=950\\ \mathrm{kPa}, enquanto p_2= p_1\pi_c =100\cdot 10=1000\\ \mathrm{kPa}. Há, portanto, uma pequena perda de pressão no duto/combustor. Assumo que essa queda de pressão é adiabática sem troca de calor (apenas perda de pressão), então a entalpia (e portanto a temperatura) se mantém praticamente constante no processo de perda de pressão (para gás ideal e sem trabalho útil). Assim a temperatura imediatamente antes da queima é igual à T_2 calculada, mas à pressão reduzida p_3.
O calor adicionado por kg de ar no combustor (de T_2 até T_3) é:
q_{in}=c_p (T_3-T_2)=1{,}005\cdot(1400-628{,}5)\approx 775{,}37\\ \mathrm{kJ/kg}.
A taxa de calor fornecida ao fluxo:
\dot Q_{in}=\dot m\, q_{in}\approx 5{,}807\cdot 775{,}37\approx 4502{,}2\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Turbina — encontrar a temperatura de saída real T_4 e o trabalho específico da turbina.
  1. Relação isentrópica para expansão (temperatura hipotética isentrópica T_{4s}):
T_{4s}=T_3\left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \dfrac{p_4}{p_3}=\dfrac{100}{950}\approx 0{,}105263. Assim
T_{4s}=1400\cdot\left(0{,}105263\right)^{0{,}285714}\approx 736{,}7\\ \mathrm{K}.
Interpretação: T_{4s} é a temperatura que teríamos se a expansão fosse isentrópica (ideal).
  1. A eficiência isentrópica da turbina \eta_t relaciona trabalhos (ou quedas de temperatura):
\eta_t=\frac{w_{real}}{w_{s}}=\frac{c_p (T_3-T_4)}{c_p (T_3-T_{4s})}\quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3 - \eta_t (T_3-T_{4s}).
Substituindo:
T_4=1400-0{,}88\cdot(1400-736{,}7)\approx 817{,}0\\ \mathrm{K}.
  1. Trabalho específico obtido na turbina:
w_t=c_p (T_3-T_4)=1{,}005\cdot(1400-817{,}0)\approx 586{,}92\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Potência gerada pela turbina:
\dot W_t=\dot m\, w_t \approx 5{,}807\cdot 586{,}92\approx 3410{,}9\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: a eficiência isentrópica da turbina mede quão próximo o processo real está do ideal isentrópico; devido a irreversibilidades a queda de temperatura real é menor que a isentrópica, logo o trabalho real é menor que o isentrópico.

Passo 6

Potência líquida e eficiência térmica do ciclo.
  1. Potência líquida:
\dot W_{líq}=\dot W_t-\dot W_c \approx 3410{,}9-1918{,}7\approx 1492{,}2\\ \mathrm{kW}.í
Interpretação: isso é o que sobra para acionar um eixo, gerador, etc., após pagar o trabalho do compressor.
  1. Eficiência térmica do ciclo (razão entre trabalho líquido e calor fornecido):
\eta_{térmica}=\frac{\dot W_{líq}}{\dot Q_{in}}=\frac{\dot W_t-\dot W_c}{\dot m\, q_{in}}.éí
Usando números por unidade de massa (mais didático): trabalho líquido específico
w_{líq}=w_t-w_c\approx 586{,}92-330{,}13\approx 256{,}79\\ \mathrm{kJ/kg},í
portanto
\eta_{térmica}=\frac{w_{líq}}{q_{in}}=\frac{256{,}79}{775{,}37}\approx 0{,}3314\approx 33{,}14\%.éí

Passo 7

Cálculo e interpretação da “razão de trabalho reverso” pedida no item (b).
Interpretação adotada (explicando por que): o enunciado não define explicitamente “razão de trabalho reverso”. Uma interpretação natural — e útil para avaliar irreversibilidades — é comparar o trabalho líquido que seria obtido se compressor e turbina fossem isentrópicos (reversíveis) com o trabalho líquido real do ciclo. Assim defino:
\text{razão de trabalho reverso}=\frac{W_{rev}}{W_{real}}=\frac{w_{rev}}{w_{real}},ã
onde w_{rev}=w_{t,s}-w_{c,s} é o trabalho líquido específico no caso isentrópico (turbina e compressor ideais), e w_{real}=w_t-w_c é o trabalho líquido real calculado anteriormente. Expliquei essa escolha porque é a forma direta de quantificar quanto a irreversibilidade diminui o trabalho útil.
Cálculo:
w_{c,s}=c_p (T_{2s}-T_1)=1{,}005\cdot(579{,}2-300)\approx 280{,}61\\ \mathrm{kJ/kg},
w_{t,s}=c_p (T_3-T_{4s})=1{,}005\cdot(1400-736{,}7)\approx 666{,}15\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo trabalho líquido isentrópico por kg:
w_{rev}=w_{t,s}-w_{c,s}\approx 666{,}15-280{,}61\approx 385{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.
E já tínhamos w_{real}=256{,}79\\ \mathrm{kJ/kg}. Assim a razão:
\frac{W_{rev}}{W_{real}}=\frac{w_{rev}}{w_{real}}\approx\frac{385{,}54}{256{,}79}\approx 1{,}50.
Interpretação do resultado: o trabalho líquido ideal (reversível/isentrópico) seria cerca de 1{,}50 vezes o trabalho líquido realmente obtido — ou seja, as irreversibilidades (eficiências isentrópicas menores que 1 e perdas de pressão) reduzem bastante o trabalho útil.

Resposta

(a) \eta_{térmica}=0{,}3314é (33,14%).\n
(b) \dfrac{W_{rev}}{W_{real}}\approx 1{,}50.\n
(c) \dot W_{líq}\approx 1492{,}2\\ \mathrm{kW}í.

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