O ar entra em um motor a gasolina a 95 kPa e 300 K . O ar é então comprimido com uma taxa de compressão volumétrica de 10: 1. São liberados no processo de combustão 1300 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de energia à medida que o combustível queima. Resolvendo pelos dos modelos termodinâmicos, \left[\mathrm{c}_{\mathrm{p}}, \mathrm{c}_{\mathrm{v}}\right]=\mathrm{cte} e \left[c_{p}, c_{v}\right]=f(T), determine:
(a) A temperatura e a pressão após a combustão.
(b) O rendimento do ciclo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Pressão e temperatura na admissão (estado 1): P_1 = 95\\ \text{kPa} e T_1 = 300\\ \text{K}.
    • Taxa de compressão volumétrica: r=\dfrac{V_1}{V_2}=10.
    • Energia liberada pela combustão (calor adicionado por unidade de massa): q_{in}=1300\\ \text{kJ/kg}.
    • Ar como fluido de trabalho (modelos a usar: (i) [\;c_p,c_v\;]=\text{constante} e (ii) [\;c_p,c_v\;]=f(T)).
  • O que se pede:
    (a) A temperatura e a pressão após a combustão (isto é, no estado 3, após a adição de q_{in}) para ambos os modelos.
    (b) O rendimento (eficiência térmica) do ciclo Otto correspondente, para ambos os modelos.
  • Observações importantes (uso que farei ao longo da resolução; não são soluções ainda):
    • No ciclo tipo Otto assumimos:
      1. Compressão de 1→2 isentrópica (reversível adiabática).
      2. Aquecimento 2→3 a volume constante (combustão instantânea ≈ iso-v).
      3. Expansão 3→4 isentrópica.
      4. Resfriamento 4→1 a volume constante.
    • Para o caso com c_p,c_v constantes usarei os valores padrão para o ar: R = 0{,}287\\ \text{kJ/(kg·K)},\quad \gamma = \frac{c_p}{c_v}=1{,}4.Destes vem c_v=\dfrac{R}{\gamma-1} e c_p=c_v+R.
    • Para o caso com c_p=c_p(T) vou explicar a estratégia: usar valores de c_p(T) (e portanto c_v(T)=c_p(T)-R) e integrar numericamente \int c_v(T)\,dT para relacionar calor e variação de energia interna; para as transformações isentrópicas farei a aproximação usual (explicada mais adiante) para obter temperaturas nos pontos necessários.
A partir daqui começo a resolver de fato.

Passo 2

Primeiro modelo: c_p,c_v constantes (modelo clássico idealizado do ciclo Otto). Vou calcular passo a passo os estados 2 e 3 e a pressão após combustão.
  1. Calcular c_v e c_p:
c_v=\frac{R}{\gamma-1}=\frac{0{,}287}{1{,}4-1}=\frac{0{,}287}{0{,}4}=0{,}7175\\ \text{kJ/(kg·K)}.
c_p=c_v+R=0{,}7175+0{,}287=1{,}0045\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  1. Compressão isentrópica 1→2: relação de temperatura
    Para compressão isentrópica de gás ideal com \gamma constante vale
T_2=T_1\,r^{\gamma-1}.
Substituindo:
T_2 = 300\cdot 10^{\,\gamma-1}=300\cdot 10^{0{,}4}.
Calcule 10^{0{,}4}. Uma aproximação numérica útil é 10^{0{,}4}\approx 2{,}5119. Assim
T_2 \approx 300\cdot 2{,}5119 \approx 753{,}6\\ \text{K}.
  1. Pressão no estado 2:
    Relação isentrópica P_2=P_1\,r^{\gamma}. Assim
P_2 = 95\\ \text{kPa}\cdot 10^{1{,}4} = 95\cdot 10^{1}\cdot 10^{0{,}4} = 95\cdot 10\cdot 2{,}5119.
P_2 \approx 95\cdot 25{,}119 \approx 2386{,}6\\ \text{kPa}\approx 2{,}387\\ \text{MPa}.
  1. Aquecimento a volume constante 2→3 (adição de q_{in}):
    Para processo iso-volumétrico a variação de energia interna por unidade de massa é
q_{in} = \Delta u = c_v\,(T_3-T_2).
Logo
T_3 = T_2 + \frac{q_{in}}{c_v}.
Substituindo números:
T_3 \approx 753{,}6 + \frac{1300}{0{,}7175}\\ \text{K}.
Calcule a fração:
\frac{1300}{0{,}7175}\approx 1812{,}6\\ \text{K}.
Portanto
T_3 \approx 753{,}6 + 1812{,}6 \approx 2566{,}2\\ \text{K}.
  1. Pressão no estado 3 (processo a volume constante):
    Como V_3=V_2, pela equação de estado ideal ( P\propto T à V fixo)
P_3 = P_2\frac{T_3}{T_2}.
Substituindo:
P_3 \approx 2386{,}6\\ \text{kPa}\cdot \frac{2566{,}2}{753{,}6}\approx 2386{,}6\cdot 3{,}406\approx 8129\\ \text{kPa}.
Ou seja P_3\approx 8{,}13\\ \text{MPa}.
Resumo do modelo 1 (aqui ainda sem o rendimento):
  • T_2\approx 753{,}6\\ \text{K}, P_2\approx 2{,}387\\ \text{MPa}.
  • T_3\approx 2566{,}2\\ \text{K}, P_3\approx 8{,}13\\ \text{MPa}.

Passo 3

Rendimento do ciclo no modelo c_p,c_v= constantes (fórmula teórica do ciclo Otto).
  • No ciclo Otto ideal com c_p,c_v constantes o rendimento depende só da taxa de compressão r e de \gamma:
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}.
Explicando a origem (resumidamente): o rendimento é 1-\dfrac{Q_{out}}{Q_{in}}. Para o Otto com calor a volume constante, após manipulação usando T_2=T_1 r^{\gamma-1} e T_4=T_3 / r^{\gamma-1} obtém-se a fórmula acima — é um resultado padrão que vale quando \gamma é constante.
  • Substituindo r=10 e \gamma=1{,}4:
\eta = 1 - \frac{1}{10^{0{,}4}} = 1 - \frac{1}{2{,}5119}\approx 1 - 0{,}3981 \approx 0{,}6019.
Portanto \eta\approx 60{,}2\% (modelo com cp constantes).

Passo 4

Segundo modelo: c_p,c_v dependem de T (modelo mais realista). Estratégia e justificativa didática:
  • Quando c_v=c_v(T), a relação entre calor e variação de energia interna é
q_{in}=\Delta u=\int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT.
Então, para encontrar T_3 temos que resolver numericamente essa integral igual a 1300\\ \text{kJ/kg}.
  • Para os cálculos práticos usa-se uma tabela ou um polinômio para c_p(T) (e então c_v(T)=c_p(T)-R). Aqui farei uma aproximação numérica por integração por partes usando valores típicos de c_p(T) do ar (valores tabulados aproximados, expressos em \text{kJ/(kg·K)}):
    • c_p(300\\ \text{K})\approx 1{,}005.
    • c_p(700\\ \text{K})\approx 1{,}025.
    • c_p(1000\\ \text{K})\approx 1{,}048.
    • c_p(1500\\ \text{K})\approx 1{,}118.
    • c_p(2000\\ \text{K})\approx 1{,}175.
    • c_p(2500\\ \text{K})\approx 1{,}230.
    • c_p(3000\\ \text{K})\approx 1{,}280.
      Esses números são aproximações típicas encontradas em tabelas de propriedades do ar; a ideia é usar interpolações lineares entre eles e integrar numericamente.
  • Observação metodológica: como as transformações 1→2 e 3→4 são isentrópicas, em princípio para máxima consistência deve-se resolver também as relações isentrópicas com c_p(T) (envolvendo integrais \int c_p(T)/T \,dT). Isso complica muito os cálculos analíticos; uma aproximação prática muito usada em exercícios é:
    • calcular T_2 pela isentrópica com \gamma médio (aqui manteremos \gamma=1{,}4 na relação isentrópica de compr./expansão para não tornar o problema intratável manualmente), porque o principal efeito de c_p(T) aparece no balanço energético (o calor adicionado e rejeitado).
    • usar a integração de c_v(T)=c_p(T)-R para achar T_3 e depois para calcular Q_{out}=\int_{T_1}^{T_4} c_v(T)\,dT.
      Essa aproximação é razoável para um cálculo manual aproximado e é comumente aceita em aulas de termodinâmica aplicada quando se compara modelo constante com dependente de T.
Vou seguir essa estratégia (explico no passo a passo as integrais que realizei).

Passo 5

Cálculo numérico do estado 2 (assumindo a mesma isentrópica com \gamma=1{,}4 para obter T_2) e da temperatura T_3 resolvendo \int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT=q_{in}.
  1. Mantemos o T_2 já calculado pelo modelo constante:
T_2 \approx 753{,}6\\ \text{K}.
  1. Construção de c_v(T)=c_p(T)-R usando os valores tabulados acima (em kJ/kgK). Converto rapidamente os c_p dados em c_v:
  • c_v(700)\approx 1{,}025-0{,}287=0{,}738.
  • c_v(1000)\approx 1{,}048-0{,}287=0{,}761.
  • c_v(1500)\approx 1{,}118-0{,}287=0{,}831.
  • c_v(2000)\approx 1{,}175-0{,}287=0{,}888.
  • c_v(2500)\approx 1{,}230-0{,}287=0{,}943.
  • c_v(3000)\approx 1{,}280-0{,}287=0{,}993.
    Também c_v(300)\approx 1{,}005-0{,}287=0{,}718.
  1. Agora integro numericamente \int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT por trapézios em intervalos adaptados até que a integral atinja 1300\\ \text{kJ/kg}.
  • Integrei por intervalos 753,6→1000→1500→2000→2500→… e calculei as contribuições (aproximação trapezoidal linear entre os pontos da tabela). O somatório acumulado atinge 1012,9 kJ/kg ao subir até 2000 K; a adição do intervalo 2000→2500 (com média c_v\approx 0{,}9155) já ultrapassa 1300. Logo T_3 fica entre 2000 K e 2500 K.
  • Calculando a porção exata necessária dentro do intervalo 2000→2500: restavam cerca de 287{,}08\\ \text{kJ/kg} a integrar; dividindo pela média c_v naquele intervalo obtém-se \Delta T\approx 313{,}7\\ \text{K}.
  • Assim obtive
T_3 \approx 2000 + 313{,}7 \approx 2313{,}7\\ \text{K}.
(Arredondei a seguir para 2314 K.)
  1. Pressão no estado 3 (a volume constante): usando o P_2 do passo do modelo constante (porque mantivemos a mesma isentrópica para 1→2),
P_3 = P_2\frac{T_3}{T_2}.
Com P_2\approx 2386{,}6\\ \text{kPa}, T_2\approx 753{,}6\\ \text{K} e T_3\approx 2313{,}7\\ \text{K},
P_3 \approx 2386{,}6\cdot\frac{2313{,}7}{753{,}6}\approx 2386{,}6\cdot 3{,}072\approx 7329\\ \text{kPa}\approx 7{,}33\\ \text{MPa}.
Resumo do modelo 2 até aqui:
  • T_3\approx 2314\\ \text{K}.
  • P_3\approx 7{,}33\\ \text{MPa}.
(Obs.: esse T_3 é obtido resolvendo o balanço de energia com c_v(T); portanto reflete que o calor de combustão aquece menos do que no modelo de c_v constante, porque o c_v médio no intervalo é maior do que o valor constante usado antes.)

Passo 6

Cálculo do rendimento no modelo c_p=c_p(T) (aproximação prática usada aqui).
Estratégia (resumida e justificada):
  • Para avaliar o rendimento usamos \eta = 1 - \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}}.
  • Já sabemos Q_{in}=1300\\ \text{kJ/kg}.
  • Para Q_{out} precisamos da variação de energia interna no resfriamento 4→1:
    Q_{out} = \int_{T_1}^{T_4} c_v(T)\,dT.
  • Precisamos de T_4. A relação exata entre T_3 e T_4 para isentrópico com c_p(T) exige resolver uma integral de entropia \int c_p(T)/T\,dT. Para manter o cálculo manual acessível (e porque a variação de \gamma não é enorme), aplico uma aproximação muito utilizada: uso a relação isentrópica com \gamma “média” aproximada (aqui mantenho \gamma=1{,}4 para obter T_4 a partir de T_3):
    T_4 \approx \frac{T_3}{r^{\gamma-1}}.
    (Justificação prática: isto evita a solução iterativa complexa; a principal diferença entre os modelos ficará refletida no cálculo de Q_{in} e Q_{out} via integrais de c_v(T).)
  • Assim obtenho:
T_4 \approx \frac{2313{,}7}{10^{0{,}4}}\approx \frac{2313{,}7}{2{,}5119}\approx 921{,}6\\ \text{K}.

Passo 7

Cálculo numérico de Q_{out}=\int_{T_1}^{T_4} c_v(T)\,dT usando os mesmos pontos tabulados e integração trapezoidal:
  • Intervalos e médias usados (valores aproximados de c_v já listados):
    • 300\to 700: média (0{,}718+0{,}738)/2=0{,}728, \Delta T=400 → contribuição 0{,}728\cdot 400 = 291{,}2\\ \text{kJ/kg}.
    • 700\to 921{,}6: estimei c_v em 921,6 K por interpolação entre 700 e 1000: c_v(921{,}6)\approx 0{,}755. Média (0{,}738+0{,}755)/2=0{,}7465, \Delta T=221{,}6 → contribuição \approx 0{,}7465\cdot 221{,}6 \approx 165{,}5\\ \text{kJ/kg}.
  • Somando:
Q_{out}\approx 291{,}2 + 165{,}5 \approx 456{,}7\\ \text{kJ/kg}.

Passo 8

Rendimento no modelo c_p(T):
\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{456{,}7}{1300}\approx 1 - 0{,}3513 \approx 0{,}6487.
Logo \eta\approx 64{,}9\% no modelo com c_p(T) (na aproximação numérica explicada: T_2 e as relações isentrópicas foram tomadas com \gamma médio; o efeito principal do modelo dependente de T foi incluído integrando c_v(T) para Q_{in} e Q_{out}).

Passo 9

Interpretação física e comparativa (curta, para fixar a ideia):
  • No modelo c_p constante obtivemos T_3 maior ( \sim2566\\ \text{K}) porque o c_v constante assumido foi menor que o c_v médio real no intervalo de aquecimento; portanto, com o mesmo calor q_{in} a elevação de temperatura fica maior no modelo constante.
  • No modelo c_p(T), c_v cresce com T e absorve mais energia por grau K, resultando em T_3 menor ( \sim2314\\ \text{K}) e pressão P_3 levemente menor.
  • O rendimento do ciclo, que no modelo ideal depende só de r e \gamma, fica aqui diferente: usando calores específicos dependentes de T e integrando os fluxos de energia obtemos uma eficiência ligeiramente diferente ( \approx64{,}9\% neste cálculo aproximado) — o valor numérico depende de como se trata a isentrópica com c_p(T); uma análise mais refinada (resolver inteiramente as integrais de entropia) muda um pouco, mas a ideia é que propriedades dependentes de T afetam Q_{in} e Q_{out} e portanto a eficiência calculada na forma prática.

Resposta

(a) Modelo c_p,c_v= constantes: T_3\approx 2566{,}2\\ \text{K}, \;P_3\approx 8{,}13\\ \text{MPa}.
(a) Modelo c_p=c_p(T): T_3\approx 2314\\ \text{K}, \;P_3\approx 7{,}33\\ \text{MPa}.
(b) Rendimento (modelo c_p,c_v= constantes): \eta\approx 60{,}2\%.
(b) Rendimento (modelo c_p=c_p(T), aproximação numérica descrita): \eta\approx 64{,}9\%.

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