O ar entra em um motor a gasolina a 95 kPa e 300 K . O ar é então comprimido com uma taxa de compressão volumétrica de
. São liberados no processo de combustão
de energia à medida que o combustível queima. Resolvendo pelos dos modelos termodinâmicos,
e
, determine:
(a) A temperatura e a pressão após a combustão.
(b) O rendimento do ciclo.
(a) A temperatura e a pressão após a combustão.
(b) O rendimento do ciclo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- Pressão e temperatura na admissão (estado 1):
e . - Taxa de compressão volumétrica:
. - Energia liberada pela combustão (calor adicionado por unidade de massa):
. - Ar como fluido de trabalho (modelos a usar: (i)
e (ii) ).
- Pressão e temperatura na admissão (estado 1):
-
O que se pede:
(a) A temperatura e a pressão após a combustão (isto é, no estado 3, após a adição de) para ambos os modelos.
(b) O rendimento (eficiência térmica) do ciclo Otto correspondente, para ambos os modelos. -
Observações importantes (uso que farei ao longo da resolução; não são soluções ainda):
- No ciclo tipo Otto assumimos:
- Compressão de 1→2 isentrópica (reversível adiabática).
- Aquecimento 2→3 a volume constante (combustão instantânea ≈ iso-v).
- Expansão 3→4 isentrópica.
- Resfriamento 4→1 a volume constante.
- Para o caso com
constantes usarei os valores padrão para o ar: Destes vem e . - Para o caso com
vou explicar a estratégia: usar valores de (e portanto ) e integrar numericamente para relacionar calor e variação de energia interna; para as transformações isentrópicas farei a aproximação usual (explicada mais adiante) para obter temperaturas nos pontos necessários.
- No ciclo tipo Otto assumimos:
A partir daqui começo a resolver de fato.
Passo 2
Primeiro modelo:
constantes (modelo clássico idealizado do ciclo Otto). Vou calcular passo a passo os estados 2 e 3 e a pressão após combustão.
- Calcular
e :
- Compressão isentrópica 1→2: relação de temperatura
Para compressão isentrópica de gás ideal comconstante vale
Substituindo:
Calcule
. Uma aproximação numérica útil é
. Assim
- Pressão no estado 2:
Relação isentrópica. Assim
- Aquecimento a volume constante 2→3 (adição de
):
Para processo iso-volumétrico a variação de energia interna por unidade de massa é
Logo
Substituindo números:
Calcule a fração:
Portanto
- Pressão no estado 3 (processo a volume constante):
Como, pela equação de estado ideal ( à fixo)
Substituindo:
Ou seja
Resumo do modelo 1 (aqui ainda sem o rendimento):
-
, . -
, .
Passo 3
Rendimento do ciclo no modelo
constantes (fórmula teórica do ciclo Otto).
- No ciclo Otto ideal com
constantes o rendimento depende só da taxa de compressão e de :
Explicando a origem (resumidamente): o rendimento é
. Para o Otto com calor a volume constante, após manipulação usando
e
obtém-se a fórmula acima — é um resultado padrão que vale quando
é constante.
- Substituindo
e :
Portanto
(modelo com cp constantes).
Passo 4
Segundo modelo:
dependem de
(modelo mais realista). Estratégia e justificativa didática:
- Quando
, a relação entre calor e variação de energia interna é
Então, para encontrar
temos que resolver numericamente essa integral igual a
.
- Para os cálculos práticos usa-se uma tabela ou um polinômio para
(e então ). Aqui farei uma aproximação numérica por integração por partes usando valores típicos de do ar (valores tabulados aproximados, expressos em ): -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses números são aproximações típicas encontradas em tabelas de propriedades do ar; a ideia é usar interpolações lineares entre eles e integrar numericamente.
-
- Observação metodológica: como as transformações 1→2 e 3→4 são isentrópicas, em princípio para máxima consistência deve-se resolver também as relações isentrópicas com
(envolvendo integrais ). Isso complica muito os cálculos analíticos; uma aproximação prática muito usada em exercícios é: - calcular
pela isentrópica com médio (aqui manteremos na relação isentrópica de compr./expansão para não tornar o problema intratável manualmente), porque o principal efeito de aparece no balanço energético (o calor adicionado e rejeitado). - usar a integração de
para achar e depois para calcular .
Essa aproximação é razoável para um cálculo manual aproximado e é comumente aceita em aulas de termodinâmica aplicada quando se compara modelo constante com dependente de.
- calcular
Vou seguir essa estratégia (explico no passo a passo as integrais que realizei).
Passo 5
Cálculo numérico do estado 2 (assumindo a mesma isentrópica com
para obter
) e da temperatura
resolvendo
.
- Mantemos o
já calculado pelo modelo constante:
- Construção de
usando os valores tabulados acima (em kJ/kgK). Converto rapidamente os dados em :
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Também.
- Agora integro numericamente
por trapézios em intervalos adaptados até que a integral atinja .
- Integrei por intervalos 753,6→1000→1500→2000→2500→… e calculei as contribuições (aproximação trapezoidal linear entre os pontos da tabela). O somatório acumulado atinge 1012,9 kJ/kg ao subir até 2000 K; a adição do intervalo 2000→2500 (com média
) já ultrapassa 1300. Logo fica entre 2000 K e 2500 K. - Calculando a porção exata necessária dentro do intervalo 2000→2500: restavam cerca de
a integrar; dividindo pela média naquele intervalo obtém-se . - Assim obtive
(Arredondei a seguir para 2314 K.)
- Pressão no estado 3 (a volume constante): usando o
do passo do modelo constante (porque mantivemos a mesma isentrópica para 1→2),
Com
,
e
,
Resumo do modelo 2 até aqui:
-
. -
.
(Obs.: esse
é obtido resolvendo o balanço de energia com
; portanto reflete que o calor de combustão aquece menos do que no modelo de
constante, porque o
médio no intervalo é maior do que o valor constante usado antes.)
Passo 6
Cálculo do rendimento no modelo
(aproximação prática usada aqui).
Estratégia (resumida e justificada):
-
Para avaliar o rendimento usamos
. -
Já sabemos
. -
Para
precisamos da variação de energia interna no resfriamento 4→1: -
Precisamos de
. A relação exata entre e para isentrópico com exige resolver uma integral de entropia . Para manter o cálculo manual acessível (e porque a variação de não é enorme), aplico uma aproximação muito utilizada: uso a relação isentrópica com “média” aproximada (aqui mantenho para obter a partir de ): (Justificação prática: isto evita a solução iterativa complexa; a principal diferença entre os modelos ficará refletida no cálculo dee via integrais de .) -
Assim obtenho:
Passo 7
Cálculo numérico de
usando os mesmos pontos tabulados e integração trapezoidal:
-
Intervalos e médias usados (valores aproximados de
já listados): -
: média , → contribuição . -
: estimei em 921,6 K por interpolação entre 700 e 1000: . Média , → contribuição .
-
-
Somando:
Passo 8
Rendimento no modelo
:
Logo
no modelo com
(na aproximação numérica explicada:
e as relações isentrópicas foram tomadas com
médio; o efeito principal do modelo dependente de
foi incluído integrando
para
e
).
Passo 9
Interpretação física e comparativa (curta, para fixar a ideia):
- No modelo
constante obtivemos maior ( ) porque o constante assumido foi menor que o médio real no intervalo de aquecimento; portanto, com o mesmo calor a elevação de temperatura fica maior no modelo constante. - No modelo
, cresce com e absorve mais energia por grau K, resultando em menor ( ) e pressão levemente menor. - O rendimento do ciclo, que no modelo ideal depende só de
e , fica aqui diferente: usando calores específicos dependentes de e integrando os fluxos de energia obtemos uma eficiência ligeiramente diferente ( neste cálculo aproximado) — o valor numérico depende de como se trata a isentrópica com ; uma análise mais refinada (resolver inteiramente as integrais de entropia) muda um pouco, mas a ideia é que propriedades dependentes de afetam e e portanto a eficiência calculada na forma prática.
Resposta
(a) Modelo
constantes:
,
(a) Modelo :
,
(a) Modelo
(b) Rendimento (modelo
constantes):
.
(b) Rendimento (modelo , aproximação numérica descrita):
(b) Rendimento (modelo