2.83 Um cilindro para armazenamento de gás apresenta diâmetro e comprimento iguais a 20 cm e 1 m . O cilindro é evacuado e depois carregado com \mathrm{CO}_{2} (gás) a 20^{\circ} \mathrm{C}. Qual deve ser a pressão para que se tenha 1,2 \mathrm{~kg} de dióxido de carbono no cilindro?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Diâmetro do cilindro: 20\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento (altura) do cilindro: 1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • O cilindro é carregado com dióxido de carbono ( \mathrm{CO_2}) a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de \mathrm{CO_2} desejada dentro do cilindro: 1{,}2\\ \mathrm{kg}.
    O que o problema pede: determinar a pressão necessária no interior do cilindro para que nele haja 1{,}2\\ \mathrm{kg} de \mathrm{CO_2} nas condições dadas.

Passo 2

Calcular o volume do cilindro.
Fórmula do volume de um cilindro: a área da base (círculo) vezes a altura, isto é
V=\pi r^{2}L,
onde r é o raio da base e L é o comprimento (altura) do cilindro.
Dados: o diâmetro é 20\\ \mathrm{cm}, logo o raio é r=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. O comprimento é L=1{,}00\\ \mathrm{m}. Substituindo:
V=\pi\,(0{,}10\\ \mathrm{m})^{2}\,(1{,}00\\ \mathrm{m})=0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^{3}\approx0{,}0314159\\ \mathrm{m}^{3}.
Explicação curta: converti o raio para metros porque as unidades do SI (para pressão em pascal) exigem metros cúbicos para o volume.

Passo 3

Calcular o número de mols de \mathrm{CO_2} necessários.
Usamos a relação entre massa e quantidade de matéria:
n=\frac{m}{M},
onde m é a massa (em kg ou g) e M é a massa molar do gás (unidade compatível).
Para \mathrm{CO_2}, a massa molar é M=44{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}04401\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}. A massa dada é m=1{,}2\\ \mathrm{kg}. Então:
n=\frac{1{,}2\\ \mathrm{kg}}{0{,}04401\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}}\approx27{,}27\\ \mathrm{mol}.
Dica didática: escolher kg com kg/mol evita conversões extra; se preferir usar gramas, daria n=\dfrac{1200\\ \mathrm{g}}{44{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}, mesmo resultado.

Passo 4

Lembrar a lei dos gases ideais e interpretar suas variáveis.
A lei dos gases ideais é
PV=nRT,
onde:
  • P é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa});
  • V é o volume (em metros cúbicos, \mathrm{m^{3}});
  • n é a quantidade de matéria (em mol);
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (usamos 8{,}314 se quiser arredondar);
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
Para encontrar a pressão, isolamos P:
P=\frac{nRT}{V}.

Passo 5

Colocar todos os valores no SI e calcular.
Temperatura: 20^\circ\mathrm{C} corresponde a T=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando n do Passo 3, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e V do Passo 2, temos
P=\frac{(27{,}27\\ \mathrm{mol})\,(8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}})\,(293{,}15\\ \mathrm{K})}{0{,}01\pi\\ \mathrm{m^{3}}}.
Calculemos em duas etapas (mostrando os produtos intermediários para você poder reproduzir à mão):
Primeiro o produto nRT:
nRT\approx27{,}27\times8{,}314462618\times293{,}15\approx6{,}6469\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Agora dividimos por V\approx0{,}0314159\\ \mathrm{m^{3}}:
P\approx\frac{6{,}6469\times10^{4}}{0{,}0314159}\\ \mathrm{Pa}\approx2{,}12\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter a pressão para unidades mais usuais (bar e atm) para intuição:
1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad P\approx\frac{2{,}12\times10^{6}}{10^{5}}\\ \mathrm{bar}\approx21{,}2\\ \mathrm{bar}.
1\\ \mathrm{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad P\approx\frac{2{,}12\times10^{6}}{101\,325}\\ \mathrm{atm}\approx20{,}9\\ \mathrm{atm}.
Comentário final rápido: o resultado é alta pressão (da ordem de vinte vezes a pressão atmosférica). Se for necessário ser mais preciso, manter mais casas decimais em cada etapa; aqui usei arredondamentos razoáveis para cálculos manuais.

Resposta

P\approx2{,}12\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
P\approx21{,}2\\ \mathrm{bar}
P\approx20{,}9\\ \mathrm{atm}

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