Um tanque rígido de 200 \mathrm{~m}^{3} contém ar comprimido a 1 MPa e 300 K . Determine quanto trabalho pode ser obtido desse ar se as condições ambientes forem de 100 kPa e 300 K .

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou colocar as unidades e converter para unidades SI quando necessário):
  • Volume do tanque: V=200\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Estado inicial do ar no tanque: P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e T_{1}=300\\ \mathrm{K}.
  • Condições ambiente (estado morto): P_{0}=100\\ \mathrm{kPa}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T_{0}=300\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede: determinar quanto trabalho pode ser obtido desse ar dadas as condições ambientes.
Informações adicionais que vou usar (valores típicos para ar à temperatura ambiente):
  • Constante do gás para o ar: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calores específicos (apenas para referência; não serão necessários se T1=T0): c_{p}\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, c_{v}\approx718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Escolha do procedimento / justificativa (explicação do que vamos fazer, de forma simples e prática).
Queremos o máximo de trabalho que pode ser extraído do ar comprimido. Para obter trabalho normalmente é preciso permitir que o fluido faça expansão útil — na prática isso significa deixar o ar sair do tanque para a atmosfera através de um dispositivo reversível (turbina, motor, etc.) de modo a converter a energia disponível em trabalho útil. Esse é o procedimento que fornece o trabalho máximo teórico (processo reversível) ao levar o ar do estado inicial até as condições ambiente (P_{0},T_{0}) na saída.
Vou então usar a ideia de exergia (disponibilidade) para um processo de escoamento reversível até o estado morto (P_{0},T_{0}). Vou explicar e deduzir a expressão correspondente passo a passo.
Observação física importante: como T_{1}=T_{0}, não há ganho térmico (nenhuma energia disponível por diferença de temperatura). A energia extrativel vem, então, da diferença de pressão, quando o ar é expandido até a pressão ambiente e escoado para fora reversivelmente.

Passo 3

Dedução da expressão do trabalho máximo por unidade de massa (aula curta e concreta).
Para um processo de escoamento reversível até o estado ambiente, o máximo trabalho útil por unidade de massa (ignorando energia cinética e potencial) é dado pela exergia específica de fluxo:
\psi = (h_{1}-h_{0}) - T_{0}(s_{1}-s_{0}),
onde
  • h é a entalpia específica ( \mathrm{J/kg}),
  • s é a entropia específica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • índice 1 indica o estado inicial do ar no tanque,
  • índice 0 indica o estado morto (ambiental) (P_{0},T_{0}),
  • T_{0} é a temperatura do ambiente (reservatório térmico).
Agora, para um gás perfeito com calor específico constante:
h(T)=c_{p}T, \qquad s(T,P)=s_{\text{ref}}+c_{p}\ln\!\left(\frac{T}{T_{\text{ref}}}\right)-R\ln\!\left(\frac{P}{P_{\text{ref}}}\right).
Logo a diferença de entropia entre os estados 1 e 0 é
s_{1}-s_{0}=c_{p}\ln\!\left(\frac{T_{1}}{T_{0}}\right)-R\ln\!\left(\frac{P_{1}}{P_{0}}\right).
Como no enunciado T_{1}=T_{0}, o termo \ln(T_{1}/T_{0}) some e h_{1}-h_{0}=c_{p}(T_{1}-T_{0})=0. Substituindo na expressão da exergia:
\psi = 0 - T_{0}\Big( -R\ln\!\left(\frac{P_{1}}{P_{0}}\right)\Big) = R\,T_{0}\ln\!\left(\frac{P_{1}}{P_{0}}\right).
Portanto, quando T_{1}=T_{0}, o trabalho máximo disponível por massa de ar que pode ser obtido ao expandir reversivelmente até a pressão ambiente é
\boxed{\psi = R\,T_{0}\ln\!\left(\dfrac{P_{1}}{P_{0}}\right).}
Essa expressão tem interpretação física simples: é a exergia (disponibilidade) associada à diferença de pressão do gás à mesma temperatura ambiente.

Passo 4

Calcular a massa de ar contida no tanque (passos numéricos mostrados detalhadamente).
Usamos a equação do gás perfeito (P V = m R T) para obter a massa m. Assim
m=\dfrac{P_{1}V}{R\,T_{1}}.
Substituindo números:
m=\dfrac{1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times200\\ \mathrm{m^{3}}}{287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times300\\ \mathrm{K}}.
Calculemos em etapas:
R\,T_{1}=287\times300=86\,100\\ \mathrm{J/(kg)}.
P_{1}V=1{,}0\times10^{6}\times200=2{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
m=\dfrac{2{,}0\times10^{8}}{86\,100}\approx2322{,}75\\ \mathrm{kg}.
Portanto m\approx2322{,}75\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o trabalho máximo específico \psi (por kg) numericamente.
A fórmula é \psi = R T_{0}\ln\!\left(\dfrac{P_{1}}{P_{0}}\right). Vamos calcular:
R\,T_{0}=287\times300=86\,100\\ \mathrm{J/kg}.
\ln\!\left(\dfrac{P_{1}}{P_{0}}\right)=\ln\!(10)=2{,}302585093\ldots
\psi =86\,100\times2{,}302585\approx198\,256{,}6\\ \mathrm{J/kg}\approx198{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular o trabalho máximo total W_{\max} extraível e apresentação do resultado.
O trabalho total máximo é
W_{\max}=m\,\psi.
Substituindo m e \psi:
W_{\max}=2322{,}75\times198\,256{,}6\\ \mathrm{J}\approx4{,}60517\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
Uma observação prática e atalho útil: como mR T_{0}=P_{1}V (porque T_{1}=T_{0}), pode-se escrever diretamente
W_{\max}=P_{1}V\ln\!\left(\dfrac{P_{1}}{P_{0}}\right),
o que para os números do problema dá
W_{\max}=2{,}0\times10^{8}\times\ln(10)\approx4{,}60517\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para megajoules:
W_{\max}\approx460{,}5\\ \mathrm{MJ}.
Comentário final rápido: esse é o máximo teórico obtido por um processo reversível que expande o ar até a pressão e temperatura ambiente e o descarrega ao ambiente. Na prática haverá irreversibilidades (perdas) e o trabalho real será menor.

Resposta

W_{\max}\approx4{,}605\times10^{8}\\ \mathrm{J}\approx460{,}5\\ \mathrm{MJ}

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