Ar entra em uma turbina adiabática com uma vazão mássica de
, a
, e uma velocidade de
. O ar expande adiabaticamente através da turbina sendo descarregado a uma velocidade de
. Sabe-se que o ar entra com uma pressão de
. Utilizando o modelo do gás ideal, determine:
A taxa de geração de entropia na turbina em
.
A taxa de geração de entropia na turbina em
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e quais são os conceitos que vamos usar. A gente tem uma turbina adiabática onde o ar entra com uma certa vazão mássica, temperatura, velocidade e pressão, e sai com outra velocidade. Queremos descobrir a taxa de geração de entropia nessa turbina, usando o modelo do gás ideal.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas abertos (a equação de energia para fluxo estacionário) e a Segunda Lei da Termodinâmica para calcular a geração de entropia. Também vamos usar propriedades de gases ideais para relacionar temperatura, pressão e entalpia.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Vazão mássica, $ \dot{m} = 4 , kg/s $
- Temperatura de entrada, $ T_1 = 800^{\circ}C = 1073,15 , K $ (converter para Kelvin somando 273,15)
- Velocidade de entrada, $ V_1 = 400 , m/s $
- Velocidade de saída, $ V_2 = 150 , m/s $
- Pressão de entrada, $ P_1 = 1 , bar = 100000 , Pa $
- Processo é adiabático, ou seja, sem transferência de calor ($ Q = 0 $)
Passo 3
Vamos aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas abertos, que é dada por:
Como o processo é adiabático, $ \dot{Q} = 0 $, então:
Aqui, $ \dot{W} $ é a potência fornecida pela turbina.
Passo 4
Agora, vamos considerar a Segunda Lei da Termodinâmica para sistemas abertos, que nos dá o saldo de entropia:
Como o processo é irreversível e adiabático, a geração de entropia $ S_{geração} $ é igual ao aumento da entropia do sistema:
Mas queremos a taxa de geração de entropia, então rearranjamos:
No entanto, como o processo é irreversível, sabemos que $ s_2 > s_1 $, então a geração de entropia será positiva.
Passo 5
Para relacionar entalpia e entropia, usamos a relação para energia específica em processos adiabáticos:
Rearranjando para encontrar $ s_2 - s_1 $:
Mas da Primeira Lei, já temos:
Substituindo na expressão de $ s_2 - s_1 $:
Então, a geração de entropia fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar $ \dot{W} $. A potência fornecida pela turbina pode ser encontrada rearranjando a equação da Primeira Lei:
Como estamos usando gás ideal, e se assumirmos que a variação de entalpia depende apenas da temperatura, temos:
Onde $ c_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante do ar, aproximadamente $ 1005 , J/(kg·K) $.
Então:
Mas ainda não sabemos $ T_2 $. Podemos encontrar isso usando a energia na velocidade:
Rearranjando para $ T_2 $:
Passo 7
Vamos calcular $ T_2 $:
Passo 8
Agora, calculamos $ h_2 - h_1 $:
Passo 9
Agora, calculamos $ \dot{W} $:
Calculando a parte dentro dos parênteses:
Então:
Passo 10
Finalmente, calculamos a taxa de geração de entropia:
Como a geração de entropia deve ser positiva, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A taxa de geração de entropia na turbina é aproximadamente $ 0,512 , kW/K $.