Ar entra em uma turbina adiabática com uma vazão mássica de 4 kg / s, a 800^circ C, e uma velocidade de 400 m / s. O ar expande adiabaticamente através da turbina sendo descarregado a uma velocidade de 150 m / s. Sabe-se que o ar entra com uma pressão de 1 bar. Utilizando o modelo do gás ideal, determine:
A Temperatura do ar na saída da turbina, em bar e K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma turbina adiabática pela qual passa ar com uma certa vazão mássica, temperatura e velocidade na entrada. Queremos descobrir qual é a temperatura e a pressão do ar na saída dessa turbina. Para isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica, mais especificamente a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas abertos e a equação dos gases ideais. Vamos precisar entender como energia é transformada dentro da turbina e como isso afeta a temperatura e a pressão do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Vazão mássica do ar, dotm = 4 kg/s
  • Temperatura de entrada, T1 = 800°C (vamos converter para Kelvin depois)
  • Velocidade de entrada, V1 = 400 m/s
  • Velocidade de saída, V2 = 150 m/s
  • Pressão de entrada, P1 = 1 bar
Queremos encontrar:
  • Temperatura na saída, T2 em Kelvin
  • Pressão na saída, P2 em bar

Passo 3

Vamos começar convertendo a temperatura de entrada para Kelvin, porque a maioria das equações termodinâmicas trabalha com a escala Kelvin.
T1 = 800°C + 273,15 = 1073,15, K

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas abertos, que basicamente diz que a energia que entra ou sai de um sistema deve ser igual à variação de energia interna mais a energia cinética e potencial. Como a turbina é adiabática (não troca calor com o ambiente) e assumimos que as variações de energia potencial são desprezíveis, a equação fica:
h1 + V1^22 = h2 + V2^22
Onde:
  • $ h $ é a entalpia por kg
  • $ V $ é a velocidade do fluxo

Passo 5

Para gases ideais, a variação de entalpia está relacionada à variação de temperatura pela relação:
h = Cp cdot T
Onde $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante. Para o ar, geralmente usamos $ C_p \approx 1005 , J/(kg·K) $.

Passo 6

Substituindo as entalpias na equação da Primeira Lei:
Cp cdot T1 + V1^22 = Cp cdot T2 + V2^22
Vamos isolar $ T_2 $:
T2

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores que temos:
T2 = 1073,15, K + (400, m/s)^2 - (150, m/s)^22 times 1005, J/(kg·K)
Vamos calcular os termos:
V1^2 = 160000, m^2/s^2
V2^2 = 22500, m^2/s^2
V1^2 - V2^2 = 160000 - 22500 = 137500, m^2/s^2
Então:
T2 = 1073,15, K + 137500, m^2/s^22010, J/(kg·K)
T2 = 1073,15, K + 68,31, K
T2 = 1141,46, K

Passo 8

Agora que temos a temperatura na saída, vamos encontrar a pressão na saída usando a equação dos gases ideais:
P cdot V = n cdot R cdot T
Para fluxo mássico, podemos reescrever como:
P = dotm cdot R cdot TFluxo volumétrico é
Mas como não temos o fluxo volumétrico, vamos usar a relação entre pressões e temperaturas para processos adiabatáticos.
Na turbine adiabática para gás ideal, a relação de pressões e temperaturas é dada por:
P2P1 = ( T2T1 )^gammagamma - 1
Onde $ \gamma $ é a razão dos calores específicos ($ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $). Para o ar, $ \gamma \approx 1,4 $.

Passo 9

Substituindo os valores:
P21, bar = ( 1141,46, K1073,15, K )^1,41,4 - 1
P21, bar = (1,0638)^3,5
P21, bar approx 1,234
Então:
P2 approx 1,234, bar

Resposta

A temperatura do ar na saída da turbina é aproximadamente 1141,46, K e a pressão é cerca de 1,23, bar.

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