Ar entra em uma turbina operando em regime permanente a 400 \mathrm{~K}, 20 bar e com um fluxo de massa de 6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e deixa a turbina a 290 K e 5 bar. As velocidades na entrada e saída são, respectivamente, 18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Efeitos de energia potencial podem ser desprezados. Se a potencia desenvolvida é 815 kW , determine a taxa de transferência de calor, em kW, para um volume de controle que envolve a turbina.
\begin{aligned} & \mathrm{T}[1]=400[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{p}[1]=2000[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{h}[1]=\text { Enthalpy }(\text { Air;T=T[1] }) \\\ & \mathrm{v}[1]=\text { Volume }(\text { Air; } \mathrm{p}=\mathrm{p}[1] ; \mathrm{T}=\mathrm{T}[1]) \\\ & \mathrm{m} \_ \text {dot }[1]=6[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}] \\\ & \mathrm{m} \_ \text {dot }[1]=\mathrm{V} \_ \text {dot }[1] / \mathrm{v}[1] \\\ & \text { omega }[1]=18[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] \end{aligned}
\begin{aligned} & \mathrm{T}[2]=290[\mathrm{~K}] \\\ & \mathrm{p}[2]=500[\mathrm{kPa}] \\\ & \mathrm{h}[2]=\text { Enthalpy }(\text { Air;T=T[2]) } \\\ & \mathrm{v}[2]=\text { Volume(Air;p=p[2];T=T[2]) } \\\ & \mathrm{m} \_ \text {dot[2] = m_dot[1] } \\\ & \mathrm{m} \_ \text {dot[2] = V_dot[2]/v[2] } \\\ & \text { omega[2] = } 30[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { W_dot }=815[\mathrm{~kW}] \\\ & 0=\text { Q_dot }- \text { W_dot }+ \text { m_dot }[1]^{*}(\mathrm{~h}[1]+(\text { omega[1]^2/2)*Convert }(\mathrm{J} / \mathrm{kg} ; \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}))- \\\ & \text { m_dot[2]*(h[2] }+(\text { omega[2]^2/2)*Convert(J/kg;kJ/kg)) } \end{aligned}

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Os dados fornecidos são:
Temperatura na entrada: T_1=400\\ \mathrm{K}.
Pressão na entrada: p_1=2000\\ \mathrm{kPa}.
Velocidade na entrada: \omega_1=18\\ \mathrm{m/s}.
Temperatura na saída: T_2=290\\ \mathrm{K}.
Pressão na saída: p_2=500\\ \mathrm{kPa}.
Velocidade na saída: \omega_2=30\\ \mathrm{m/s}.
Vazão mássica: \dot{m}=6\\ \mathrm{kg/s}.
Potência desenvolvida (pela turbina): \dot{W}=815\\ \mathrm{kW}.
O que o problema pede: determinar a taxa de transferência de calor \dot{Q} (em kW) para um volume de controle envolvendo a turbina, desprezando variações de energia potencial.

Passo 2

Qual equação usar e por quê. Como o processo é em regime permanente (estado estacionário), com um fluxo mássico contínuo entrando e saindo e desprezando energia potencial, usamos a forma integral da primeira lei da termodinâmica para volume de controle em regime permanente (equação de energia em regime estacionário):
0=\dot{Q}-\dot{W}+\dot{m}\left(h_1+\frac{\omega_1^2}{2}\right)-\dot{m}\left(h_2+\frac{\omega_2^2}{2}\right).
Aqui:
  • \dot{Q} é a taxa de calor entrando no volume de controle (positiva se entra),
  • \dot{W} é a potência líquida desenvolvida pelo dispositivo (positiva quando o sistema fornece trabalho, que é o caso da turbina),
  • \dot{m} é a vazão mássica (mesma em entrada/saída),
  • h_1,h_2 são as entalpias específicas na entrada e saída (em \mathrm{kJ/kg}),
  • \omega_1,\omega_2 são as velocidades na entrada e saída (em \mathrm{m/s}),
  • os termos \omega^2/2 são as energias cinéticas específicas (em \mathrm{J/kg}); depois convertemos para \mathrm{kJ/kg}.
Rearranjando para \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{W}+\dot{m}\left(h_2-h_1\right)+\dot{m}\left(\frac{\omega_2^2}{2}-\frac{\omega_1^2}{2}\right).
Explicando o porquê: essa forma diz que o calor que entra no sistema é igual ao trabalho fornecido pela turbina mais a mudança de energia do escoamento (entalpia + energia cinética). Faz sentido físico: a turbina extrai energia do escoamento (reduz entalpia), parte vira trabalho, o resto pode ser trocado por calor.

Passo 3

Como obter h_2-h_1. Para ar em processos de turbina à pressão e temperatura dadas e se não nos dão tabelas de entalpia, é usual aproximar o ar como gás ideal com calor específico constante ( c_p). Assim a variação de entalpia por unidade de massa é:
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1).
Escolhemos o valor típico para ar seco à temperatura média: c_p \approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Essa aproximação é muito usada em problemas de prova quando não fornecem tabelas. Aqui T em \mathrm{K} dá entalpia em \mathrm{kJ/kg}.
Calculemos h_2-h_1:
h_2-h_1 = 1{,}005\cdot(290-400)=1{,}005\cdot(-110)=-110{,}55\\ \mathrm{kJ/kg}.
Ou seja, a entalpia específica diminui 110{,}55\\ \mathrm{kJ/kg} do ponto 1 para o ponto 2 (a turbina retira energia do fluido).

Passo 4

Calcular as energias cinéticas específicas e convertê-las para \mathrm{kJ/kg}. A energia cinética por unidade de massa é \omega^2/2 em \mathrm{J/kg}. Para trabalhar em \mathrm{kJ/kg} dividimos por 1000.
Primeiro entrada:
\frac{\omega_1^2}{2}=\frac{18^2}{2}=\frac{324}{2}=162\\ \mathrm{J/kg}=0{,}162\\ \mathrm{kJ/kg}.
Depois saída:
\frac{\omega_2^2}{2}=\frac{30^2}{2}=\frac{900}{2}=450\\ \mathrm{J/kg}=0{,}450\\ \mathrm{kJ/kg}.
A diferença:
\frac{\omega_2^2}{2}-\frac{\omega_1^2}{2}=0{,}450-0{,}162=0{,}288\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica \dot{m}=6\\ \mathrm{kg/s} teremos a contribuição de energia cinética em kW:
\dot{m}\left(\frac{\omega_2^2}{2}-\frac{\omega_1^2}{2}\right)=6\cdot 0{,}288=1{,}728\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Calcular a contribuição da variação de entalpia na taxa de energia (kW):
\dot{m}(h_2-h_1)=6\cdot(-110{,}55)=-663{,}3\\ \mathrm{kW}.
Observação: é negativo porque a entalpia do fluido diminui passando pela turbina (o fluido perde energia interna/entalpia).

Passo 6

Agora colocar todos os termos na equação para obter \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{W}+\dot{m}(h_2-h_1)+\dot{m}\left(\frac{\omega_2^2}{2}-\frac{\omega_1^2}{2}\right).
Substituindo numericamente:
\dot{Q}=815 + (-663{,}3) + 1{,}728 \\ \\ \mathrm{(kW)}.
Somando:
\dot{Q}=815-663{,}3+1{,}728=153{,}428\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos, compatível com os dados):
\dot{Q}\approx 153{,}43\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Interpretação física e checagem rápida: \dot{Q} positivo significa que há transferência de calor no sentido de entrar energia térmica no volume de controle (o fluido/gaveta da turbina recebe calor do meio). Faz sentido: a turbina extrai trabalho e o fluido também perde entalpia; para que o balanço dê, neste caso específico, é necessário um pequeno calor fornecido ao sistema ( \approx 153{,}4\\ \mathrm{kW}). Se fosse uma turbina ideal muito eficiente normalmente esperamos rejeição de calor pequena; aqui o sinal e valor dependem dos números dados (temperaturas e potência).

Resposta

\dot{Q}=153{,}43\\ \mathrm{kW}

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