A entropia molar
de um gás ideal monoatômico é dada, como função da energia interna molar
e volume molar
, pela equação de Sackur-Tetrode:
onde
é uma constante. A partir desse modelo deduza a clássica equação
e a expressão da sua capacidade calorífica a volume constante (
) desse gás.
Passo 1
O enunciado dá a entropia molar
de um gás ideal monoatômico como função da energia interna molar
e do volume molar
pela equação de Sackur–Tetrode:
onde
é uma constante e
é a constante universal dos gases.
O que se pede:
O que se pede:
- Deducir a equação de estado clássica
(para uma mol), onde é a pressão e a temperatura. - Obter a capacidade calorífica molar a volume constante
desse gás.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita deem função de e , e que é apenas uma constante (não precisamos do seu valor numérico).
Passo 2
Vamos usar a relação termodinâmica fundamental que liga variações de energia interna, entropia e trabalho de pressão para um sistema simples (uma mol de gás):
Essa expressão é bem conhecida:
é a temperatura absoluta e
a pressão. Reorganizando em termos de
obtemos a forma conveniente quando tratamos
como função de
e
:
Isto implica, por definição de derivadas parciais (mantendo a outra variável fixa):
Explico: se
, a diferencial total é
. Comparando termo a termo com a expressão anterior vemos que as derivadas parciais correspondem a
e
. Isso é a peça-chave: derivando a expressão dada para
obtemos temperatura e pressão.
Passo 3
Primeiro vamos escrever
explicitamente (multiplicando ambos os lados por
) para facilitar a diferenciação:
Podemos separar o logaritmo usando propriedades:
Agora calcule a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixo. A única parte que depende de
é
. Derivando:
Expliquei o passo da derivada:
, pois
é constante. Assim:
Pelo resultado do Passo 2, isto é igual a
. Portanto:
Invertendo para escrever
em função de
:
Esse é um resultado físico importante: a energia interna molar de um gás monoatômico ideal é proporcional à temperatura, com coeficiente
. Isso já nos dá a forma da dependência
, útil também para a capacidade calorífica.
Passo 4
Agora calcule a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixo. Da expressão
, a única parte que depende de
é
. Derivando:
Pelo resultado do Passo 2, isso é igual a
:
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos:
Pronto — deduzimos a equação de estado clássica do gás ideal (para uma mol):
.
Passo 5
Combinando o resultado do Passo 3 (
) com a definição da capacidade calorífica molar a volume constante, que é por definição:
calculamos imediatamente:
Interpretação simples: para cada aumento de temperatura, a energia interna muda linearmente; a constante de proporcionalidade é a capacidade calorífica a volume constante. Para um gás monoatômico clássico isso dá
, valor conhecido pela teoria da equipartição (cada grau de liberdade translacional contribui com
) — aqui isso surge diretamente da forma da entropia dada.