A entropia molar (S) de um gás ideal monoatômico é dada, como função da energia interna molar (U) e volume molar (V), pela equação de Sackur-Tetrode:
\frac{S}{R}=\ln \left[V(\theta U)^{\frac{3}{2}}\right]+\frac{5}{2}
onde \theta é uma constante. A partir desse modelo deduza a clássica equação
P V=R T
e a expressão da sua capacidade calorífica a volume constante ( C_{v} ) desse gás.

Passo 1

O enunciado dá a entropia molar S de um gás ideal monoatômico como função da energia interna molar U e do volume molar V pela equação de Sackur–Tetrode:
\frac{S}{R}=\ln\!\bigl[V(\theta U)^{\frac{3}{2}}\bigr]+\frac{5}{2},
onde \theta é uma constante e R é a constante universal dos gases.
O que se pede:
  1. Deducir a equação de estado clássica \;P V = R T\; (para uma mol), onde P é a pressão e T a temperatura.
  2. Obter a capacidade calorífica molar a volume constante \;C_{v}\; desse gás.
    Informações relevantes dadas: a expressão explícita de S em função de U e V, e que \theta é apenas uma constante (não precisamos do seu valor numérico).

Passo 2

Vamos usar a relação termodinâmica fundamental que liga variações de energia interna, entropia e trabalho de pressão para um sistema simples (uma mol de gás):
dU = T\,dS - P\,dV.
Essa expressão é bem conhecida: T é a temperatura absoluta e P a pressão. Reorganizando em termos de dS obtemos a forma conveniente quando tratamos S como função de U e V:
dS = \frac{1}{T}\,dU + \frac{P}{T}\,dV.
Isto implica, por definição de derivadas parciais (mantendo a outra variável fixa):
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V}=\frac{1}{T}, \qquad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U}=\frac{P}{T}.
Explico: se S=S(U,V), a diferencial total é dS=(\partial S/\partial U)_V dU+(\partial S/\partial V)_U dV. Comparando termo a termo com a expressão anterior vemos que as derivadas parciais correspondem a 1/T e P/T. Isso é a peça-chave: derivando a expressão dada para S obtemos temperatura e pressão.

Passo 3

Primeiro vamos escrever S explicitamente (multiplicando ambos os lados por R) para facilitar a diferenciação:
S = R\ln\!\bigl[V(\theta U)^{\tfrac{3}{2}}\bigr] + \frac{5}{2}R.
Podemos separar o logaritmo usando propriedades:
S = R\ln V + R\ln\bigl((\theta U)^{\tfrac{3}{2}}\bigr) + \frac{5}{2}R = R\ln V + \frac{3R}{2}\ln(\theta U) + \frac{5R}{2}.
Agora calcule a derivada parcial de S em relação a U, mantendo V fixo. A única parte que depende de U é \frac{3R}{2}\ln(\theta U). Derivando:
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V} = \frac{3R}{2}\cdot\frac{1}{\theta U}\cdot\theta = \frac{3R}{2}\cdot\frac{1}{U}.
Expliquei o passo da derivada: \dfrac{d}{dU}\ln(\theta U)=\dfrac{1}{\theta U}\cdot\theta=\dfrac{1}{U}, pois \theta é constante. Assim:
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V}=\frac{3R}{2U}.
Pelo resultado do Passo 2, isto é igual a 1/T. Portanto:
\frac{1}{T}=\frac{3R}{2U}.
Invertendo para escrever U em função de T:
U=\frac{3R}{2}\,T.
Esse é um resultado físico importante: a energia interna molar de um gás monoatômico ideal é proporcional à temperatura, com coeficiente \tfrac{3}{2}R. Isso já nos dá a forma da dependência U(T), útil também para a capacidade calorífica.

Passo 4

Agora calcule a derivada parcial de S em relação a V, mantendo U fixo. Da expressão S = R\ln V + \frac{3R}{2}\ln(\theta U) + \frac{5R}{2}, a única parte que depende de V é R\ln V. Derivando:
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U} = R\cdot\frac{1}{V} = \frac{R}{V}.
Pelo resultado do Passo 2, isso é igual a P/T:
\frac{P}{T} = \frac{R}{V}.
Multiplicando ambos os lados por T e por V obtemos:
P V = R T.
Pronto — deduzimos a equação de estado clássica do gás ideal (para uma mol): \;P V = R T\;.

Passo 5

Combinando o resultado do Passo 3 ( U=\tfrac{3R}{2}T) com a definição da capacidade calorífica molar a volume constante, que é por definição:
C_{v} \equiv \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V},
calculamos imediatamente:
C_{v} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{3R}{2}T\right) = \frac{3R}{2}.
Interpretação simples: para cada aumento de temperatura, a energia interna muda linearmente; a constante de proporcionalidade é a capacidade calorífica a volume constante. Para um gás monoatômico clássico isso dá C_{v}=\tfrac{3}{2}R, valor conhecido pela teoria da equipartição (cada grau de liberdade translacional contribui com \tfrac{1}{2}R) — aqui isso surge diretamente da forma da entropia dada.

Resposta

P V=R T
C_{v}=\dfrac{3R}{2}

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