O coeficiente de Joule-Thomson ( \mu_{\mathrm{JT}} ) é definido como
\mu_{\mathrm{JT}}=\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}
Demonstre que
\mu_{\mathrm{JT}}=-\frac{V}{C_{P}}(1-T \beta)
onde V é o volume molar, C_{p} é a capacidade calorífica a pressão constante, T a temperatura e \beta é a expansividade volumétrica.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o coeficiente de Joule–Thomson, definido por \mu_{\mathrm{JT}}=\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}, pode ser escrito como
\mu_{\mathrm{JT}}=-\frac{V}{C_{P}}(1-T \beta),
onde são dadas as grandezas: o volume molar V, a capacidade térmica a pressão constante C_{P}, a temperatura T e a expansividade volumétrica \beta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar explicitamente: \mu_{\mathrm{JT}}=\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}, V, C_{P}, T e \beta. Não há outras informações numéricas — é uma demonstração simbólica.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o diferencial total da entalpia H. Lembra que entalpia é definida por H=U+PV. A primeira lei para um sistema fechado, em processo reversível, dá
dU = T\,dS - P\,dV.
Expliquei isso: dU é a variação da energia interna; em um processo reversível a troca de calor é T\,dS e o trabalho de pressão é P\,dV, daí a forma acima. Somando d(PV)=P\,dV+V\,dP a dU obtemos o diferencial de H:
dH = dU + d(PV) = (T\,dS - P\,dV) + (P\,dV + V\,dP) = T\,dS + V\,dP.
Portanto temos a identidade geral
dH = T\,dS + V\,dP.

Passo 3

Agora extraímos as derivadas parciais de H que aparecerão na relação desejada. Sefixarmos a temperatura ( dT=0) e considerarmos variação com P obtemos
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} + V.
Aqui usei que, ao variar P com T constante, dS=(\partial S/\partial P)_{T}\,dP.
Precisamos agora de uma relação entre (\partial S/\partial P)_{T} e derivadas de V. Para isso usamos a relação termodinâmica que vem da função de Gibbs G(T,P), cujo diferencial é
dG = -S\,dT + V\,dP.
Dessa igualdade segue a relação de Maxwell (derivada cruzada) aplicável:
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Essa é uma identidade padrão: trocar as derivadas mistas de G dá essa igualdade. Substituindo em \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} obtemos
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 4

Agora introduzimos a expansividade volumétrica \beta. Por definição,
\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Isto é, \beta mede fração de mudança do volume por variação de temperatura à pressão constante. Isolando \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} temos
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = V \beta.
Substituindo isso em \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = V - T(V\beta) = V(1 - T\beta).

Passo 5

Precisamos também de \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}. Pela definição da capacidade térmica à pressão constante,
C_{P} \equiv \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}.
Isso é direto: C_{P} é quanto a entalpia muda por unidade de temperatura quando a pressão é fixa.

Passo 6

Agora use a expressão total do diferencial de H em termos de T e P:
dH = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} dT + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} dP.
Para processos em que H é mantida constante (condição do coeficiente de Joule–Thomson), dH=0. Assim
0 = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} dT + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} dP.
Isolando \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{H} obtemos
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H} = -\frac{\left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}}{\left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}}.
Esta é uma fórmula geral para derivadas parciais numa restrição.

Passo 7

Agora substituímos as expressões que já determinamos: \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = V(1-T\beta) (Passo 4) e \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} = C_{P} (Passo 5). Assim
\mu_{\mathrm{JT}}=\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H} = -\frac{V(1-T\beta)}{C_{P}}.
Pronto — chegamos à forma pedida.

Resposta

\displaystyle \mu_{\mathrm{JT}}=-\frac{V}{C_{P}}(1-T \beta)

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