Dado que a pressão de vapor do n-butano a 350 K é de 9,4573 bar, determine os volumes molares do (a) vapor saturado e do (b) líquido saturado de
-butano nessas condições, conforme indicado pela equação de Peng-Robinson. Use a fórmula de
Cardano-Tartaglia. As propriedades críticas e o fato acêntrico do n-butano podem ser encontrados em tabelas disponíveis nos principais livros de Termodinâmica da Engenharia Química.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os volumes molares do n-butano (a) do vapor saturado e (b) do líquido saturado a
, sabendo que a pressão de vapor nessa temperatura é
. Foi pedido usar a equação de Peng–Robinson e resolver o cúbico por Cardano–Tartaglia.
Informações dadas explícitas:
Informações dadas explícitas:
Informações que preciso usar e que obtive em tabelas (conforme indicado no enunciado):
Vou utilizar a forma padrão da equação de Peng–Robinson para escrever o cúbico em
(fator de compressibilidade), resolver esse cúbico por Cardano (transformação para cúbico deprimido, avaliação do discriminante e uso da forma trigonométrica quando necessário) e então obter os volumes molares por
Passo 2
Breve revisão didática da equação de Peng–Robinson e das quantidades que vou calcular (aula rápida antes de aplicar):
- A equação de Peng–Robinson em forma de parâmetro usa os parâmetros
e :
onde
corrige a dependência com a temperatura e se escreve
com
- Em seguida definem-se os parâmetros adimensionais (usados no cúbico em
):
- O cúbico em
(forma usual para Peng–Robinson) é
- Depois de obter as raízes em
, o volume molar é
Eu vou usar
(unidades coerentes com pressão em bar e volumes em L·mol
).
Passo 3
Cálculo de
e
(mostrando passos numéricos bem detalhados):
Calcule:
Logo
Agora
Calculo:
Então
Finalmente
Passo 4
Cálculo dos parâmetros
e
(detalhando unidades e cálculos):
Usando ,
,
, e
:
Usando
Calcule
:
Então
Multiplicando pelos demais fatores:
Agora
Calcule
??? Atenção — unidade:
é
é incorreto por fator: vamos calcular corretamente:
Agora
(Resumo numérico)
Passo 5
Cálculo de
e
(parâmetros adimensionais do cúbico em
):
Calcule
e
:
Agora
Passo 6
Escrever o cúbico em
com os coeficientes numéricos (mostrando cada termo):
A forma padrão (repetindo)
A forma padrão (repetindo)
Calcule os coeficientes:
Portanto o cúbico é
Passo 7
Preparação para Cardano–Tartaglia: transformar o cúbico para a forma deprimida
. Considere o cúbico monico
com
,
,
. A substituição padrão é
Calcule o deslocamento:
portanto
Passo 8
Calcular
e
do cúbico deprimido (mostrando todas contas):
Fórmulas:
Fórmulas:
Calcule
e
:
Agora
Resultado:
Passo 9
Avaliar o discriminante e escolher o ramo de Cardano apropriado:
O discriminante (para o cúbico deprimido) é
O discriminante (para o cúbico deprimido) é
Calcule
Logo
Como
, o cúbico tem três raízes reais distintas. Nessa situação é conveniente usar a forma trigonométrica (derivada de Cardano) para escrever as raízes reais.
Passo 10
Aplicar a solução trigonométrica (variante de Cardano) para obter as três raízes reais:
Para com
e
, as raízes são
Para
onde
Calcule os termos numéricos:
Agora
Dividindo por 3:
Agora as três valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Lembrando a mudança de variável
, obtemos as raízes em
:
Portanto há três soluções reais:
. Fisicamente, para um sistema bifásico na pressão de saturação, a maior raiz corresponde ao vapor saturado (menor densidade, maior
) e a menor raiz corresponde ao líquido saturado (maior densidade, menor
).
Passo 11
Cálculo dos volumes molares usando
:
Primeiro calculei a razão :
Primeiro calculei a razão
Agora:
- Volume molar do vapor saturado (usar
):
- Volume molar do líquido saturado (usar
):
Passo 12
Comentário final rápido e motivador (rápido incentivo): fizemos tudo passo a passo — definimos parâmetros, montamos o cúbico de Peng–Robinson, aplicamos Cardano e a forma trigonométrica quando o discriminante indicou três raízes reais, e finalmente calculamos os volumes molares. Está tudo coerente com ordens de grandeza físicas (volume molar líquido pequeno, do vapor alguns litros por mol). Você está indo bem — só revisar a transformação e a aplicação de Cardano que esse é o ponto em que muita gente tropeça.
Resposta
(a)
(b)
(b)